Fisica De Semiconductores

Los estudiantes buscarán las ecuaciones exactas que están relacionadas con los siguientes conceptos:

Principio de incertidumbre (versión de posición y versión de energía).

«Principio de Incertidumbre de Heisenberg», principio que revela una característica distinta de la mecánica cuántica que no existe en la mecánica newtoniana.

Como una definición simple, podemos señalar que se trata de un concepto que describe que el acto mismo de observar cambia lo que se está observando. En 1927, el físico alemán Werner Heisenberg se dio cuenta de que las reglas de la probabilidad que gobiernan las partículas subatómicas nacen de la paradoja de que dos propiedades relacionadas de una partícula no pueden ser medidas exactamente al mismo tiempo. Por ejemplo, un observador puede determinar o bien la posición exacta de una partícula en el espacio o su momento (el producto de la velocidad por la masa) exacto, pero nunca ambas cosas simultáneamente. Cualquier intento de medir ambos resultados conlleva a imprecisiones.

Según el principio de incertidumbre, el producto de esas incertidumbres en los cálculos no puede reducirse a cero. La precisión máxima está limitada por la siguiente expresión:

Dx Dp mayor o igual que h/2p

Heisenberg ejemplificaba su hallazgo del principio de incertidumbre que hemos sintetizado arriba, analizando la capacidad de resolución de un microscopio. Imaginemos que miramos una pequeña partícula al microscopio. La luz choca con la partícula y se dispersa en el sistema óptico del microscopio. La capacidad de resolución del microscopio (las distancias más pequeñas que puede distinguir) se halla limitada, para un sistema óptico concreto, por la longitud de onda de la luz que se utilice. Evidentemente, no podemos ver una partícula y determinar su posición a una distancia más pequeña que esta longitud de onda; la luz de longitud de onda mayor, simplemente se curva alrededor de la partícula y no se dispersa de un modo significativo. Por tanto, para establecer la posición de la partícula con mucha precisión hemos de utilizar una luz que tenga una longitud de onda extremadamente corta, más corta al menos que el tamaño de la partícula.

El principio de incertidumbre afirma que “no se puede determinar, en términos de la física clásica, simultáneamente y con precisión arbitraria, ciertos pares de variables físicas, como son, por ejemplo, la posición y el momento lineal de un objeto dado.“ Matemáticamente, esto vendría dado por la siguiente inecuación:

Donde

y es la constante de Planck

[Nota: en la mayoría de libros y páginas web el producto ΔpΔx es igual a en lugar de esto es debido a definiciones más concretas y estrictas.]

Vemos que en términos matemáticos la fórmula es bastante simple. Si queremos simplificarla aún más, podemos sustituir el signo de la desigualdad por el de una igualdad

Entonces, la ecuación pasaría a describir aquel caso particular (e ideal) en el que medimos con precisión máxima el momento y la posición. La ecuación nos dice que al medir la posición en una dirección arbitraria x siempre habrá una incertidumbre Δx, y que si simultáneamente medimos el momento lineal o cantidad de movimiento de la componente x también habrá una incertidumbre Δp; y todo ello cumpliendo la regla que nos dice la ecuación: que el producto de Δx y Δp ha de ser igual (o superior) a .

En la definición de la Wikipedia se habla de “ciertos pares de variables físicas”. Otro par de variables en el que es posible expresar el principio de incertidumbre es energía ΔE i tiempo Δt.

En todo caso, para comprender el principio de incertidumbre es mucho mejor hacerlo entendiendo la partícula como onda en lugar de como corpúsculo. Esto es posible gracias a la dualidad onda-partícula de de Broglie, que dice que a nivel elemental, la materia exhibe un comportamiento tanto de onda como de partícula. Esto viene dado por la ecuación

donde es la constante de Planck y λ es la longitud de onda asociada a aquella partícula.

Pues bien, centrémonos por ejemplo en un electrón. Según la dualidad onda-partícula de de Broglie, podemos comprender al electrón como onda o como partícula. Si lo hacemos como onda, usaremos las herramientas de las ondas para analizarlo.

Lo primero a tener en cuenta es que a diferencia de una masa o carga puntual, una onda no ocupa un solo punto del espacio, sino que se extiende más o menos a lo largo de éste. Su momento lineal viene dado por la anterior fórmula

Como vemos, el momento lineal es inversamente proporcional a la longitud de onda. Teniendo en cuenta esta fórmula además de la fórmula del principio de incertidumbre, vemos que para tener una longitud de onda exacta, y por lo tanto un momento lineal totalmente definido, la onda tiene que ser infinita en ambos extremos, con lo cual su posición es infinitamente indeterminada. Así pues, Δp=0 <=> Δx=∞.

Ondas periódicas deslocalizadas con longitud de onda definida

Por otro lado, observamos que la posición será más definida cuanto más corta sea la onda, pero eso implica que tenemos que “cortar” la onda por los extremos, y cuando lo hacemos, “distorsionamos” la longitud de onda, de manera que perdemos precisión en el momento lineal. La onda resultante puede ser entendida como una superposición de varias ondas periódicas infinitas.

Onda resultante localizada sin longitud de onda definida

Por lo tanto, vemos que una disminución en la incertidumbre de la posición implica un aumento en la incertidumbre del momento, y viceversa. Cuantitativamente, esta relación viene dada por la fórmula del principio de incertidumbre.

En síntesis, se puede describir que el principio de incertidumbre postula que en la mecánica cuántica es imposible conocer exactamente, en un instante dado, los valores de dos variables canónicas conjugadas (posición-impulso, energía-tiempo, etc.) de forma que una medición precisa de una de ellas implica una total indeterminación en el valor de la otra.

Matemáticamente, se expresa para la posición y el impulso en la siguiente forma:

DxDy³h/2

dónde Dx, incertidumbre en la medida de la posición; Dp, incertidumbre en la medida del impulso; para la energía, E, y el tiempo, t, se tiene DE Dt ³ h/2p

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