Fluidos Incomprensibles

6. FLUJOS IDEALES INCOMPRESIBLES E IRROTACIONALES

El potencial de velocidad

El movimiento de los fluidos perfectos (no viscosos) se describe mediante la ecuación de Euler

d

dt

u p

= g −

∇

ρ

(6.1)

que ya tratamos en los Capítulos 4 y 5. Este tipo de flujos es muy importante pues en muchas

situaciones de interés práctico, los efectos de la viscosidad de los fluidos reales quedan limitados

a las regiones del espacio (muchas veces pequeñas) donde tienen lugar fuertes gradientes de la

velocidad (capas límite, ver el Capítulo 7, o regiones donde el flujo es turbulento), mientras que

en el grueso del flujo los efectos de la viscosidad son despreciables y el fluido se puede suponer

ideal. De acuerdo con los resultados del Capítulo 5, en las regiones materiales de flujo ideal no

se crea ni se destruye vorticosidad, de manera que si en un dado instante ésta es nula, sigue

siendo nula en todo otro momento.

Una de las propiedades fundamentales de los fluidos invíscidos es que puede haber flujos que

son permanentemente irrotacionales, es decir que ∇ × u = 0 en todos los puntos del fluido. Si

además el flujo es incompresible, el campo de velocidad satisface las condiciones

∇⋅u = 0 , ∇ × u = 0 (6.2)

La irrotacionalidad del campo de velocidad implica que u deriva de un potencial de velocidad φ,

esto es

u = ∇φ (6.3)

y la incompresibilidad implica entonces

∇2 = + + =

2

2

2

2

2

2 φ 0

∂ φ

∂

∂ φ

∂

∂ φ

x y ∂z

(6.4)

Por lo tanto φ satisface la ecuación de Laplace, que junto con la (6.3) determina u(r,t) . Viceversa,

la existencia de una función escalar φ que satisface la ecuación (6.4) implica la existencia

de una función vectorial u = ∇φ que cumple las condiciones (6.2), como se puede verificar fácilmente.

Los flujos para los cuales se cumple la (6.3) se denominan flujos potenciales. Claramente,

la (6.3) implica que las líneas de corriente de un flujo potencial son ortogonales a las superficies

equipotenciales, definidas por φ = cte..

En los flujos potenciales, la ecuación de movimiento (5.8) adopta la forma (5.13)

∂φ

∂

ϕ

t ρ

u p

+ + + = f t

2

2

( ) (6.5)

donde ϕ indica el potencial de las fuerzas de volumen, como ya vimos en el capítulo anterior. En

esta aproximación φ, y entonces u, quedan determinados por una ecuación lineal (la ecuación de

Laplace). Sin embargo, de acuerdo con la (6.5) p depende de u en forma no lineal.

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La solución de un problema de flujo potencial consiste pues en la determinación de dos magnitudes,

φ y p, para lo cual disponemos de las dos ecuaciones escalares (6.4) y (6.5). Aún así, el

problema es sencillo sólo para flujos estacionarios. Nótese, sin embargo, que si las condiciones

de contorno no involucran la presión, la ecuación de Laplace para φ se puede resolver sin necesidad

de conocer p; en tal caso, la (6.5) sólo sirve para calcular p una vez determinado φ.

Debido a que la ecuación de Laplace es lineal, las combinaciones lineales de soluciones son

también soluciones de la misma. Se puede entonces construir el campo de velocidad de un problema

de flujo potencial superponiendo soluciones simples ya conocidas, de forma tal de satisfacer

las condiciones de contorno correspondientes a la solución buscada. Por otra parte, del

mismo modo que en la Electrostática cuando se calcula el potencial eléctrico de una distribución

de cargas, podremos escribir el potencial de velocidad de un flujo potencial en forma de un desarrollo

multipolar. Tal desarrollo corresponde a la suma de los potenciales elementales asociados

a distribuciones de fuentes de fluido de complejidad creciente (fuente única, dipolo, cuadrupolo,

… etc.). De esta forma veremos que el campo de velocidad de flujos simples, como el flujo

alrededor de un obstáculo esférico o cilíndrico, se puede escribir como una combinación lineal

del potencial de velocidad correspondiente a un flujo uniforme y el potencial de velocidad de un

dipolo.

Otra técnica para resolver la ecuación de Laplace consiste en buscar soluciones en variables separadas,

para lo cual es necesario utilizar coordenadas que respeten las simetrías del problema.

Los problemas con simetría cilíndrica llevan a soluciones cuyas partes radiales son funciones de

Bessel; en aquellos que tienen simetría esférica intervienen las funciones de Legendre, etc..

Condiciones de contorno para flujos potenciales

La teoría de la ecuación de Laplace establece que la solución está determinada si se conoce φ

sobre toda una superficie cerrada. Sin embargo, es preferible en el presente contexto imponer

condiciones sobre la velocidad. Esto plantea el problema de averiguar qué condición sobre la

velocidad es equivalente a asignar φ. Evidentemente, por lo general no se podrá asignar u (es

decir, todas sus componentes), pues serían tres condiciones, y no una sola como es asignar φ.

Se puede demostrar que el campo u queda unívocamente determinado si se asigna sólo la componente

normal de u sobre el contorno cerrado, es decir, una condición escalar.

En efecto, nótese que

∇⋅ (φu) = u ⋅∇φ = u ⋅u (6.6)

pues ∇⋅u = 0. Entonces, si V es el volumen ocupado por el fluido,

∫u ⋅udV = ∫∇⋅ u dV

V V

(φ ) (6.7)

Cuando φu es una función univaluada de la posición, se puede utilizar el teorema de la divergencia

para transformar la integral de volumen. En general, el volumen V se encuentra rodeado

por fuera por la superficie S2, y por dentro por la superficie S1, de modo que las normales –n1 y

n2 son salientes del volumen (ver Fig. 6.1). Tenemos entonces

I dV dS dS

V S S

= ∫u ⋅u = − ∫φ1u ⋅ n1 + ∫φ2u ⋅ n2

1 2

(6.8)

6. Flujos ideales incompresibles

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De aquí podemos deducir lo siguiente:

(a) si la componente normal de u es nula en todas las superficies del contorno, entonces I = 0, lo

cual puede suceder sólo si u = 0 en todo el volumen,

(b) si la componente normal de u no es nula en todo el contorno, es fácil mostrar

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