Forma polar o módulo-argumento

2. Forma polar o módulo-argumento

Otra forma de expresar un número complejo es la forma polar o forma módulo-argumento,

donde es el módulo de , y donde  es un argumento de , esto es,  es un ángulo tal que

, .

NOTA: Un número complejo tiene infinitos argumentos distintos. De hecho se puede definir el argumento de un número complejo no nulo como el conjunto de todos los posibles valores  que verifican lo anterior, es decir,

Es claro, por tanto, que si es un valor particular del argumento de , entonces

Se denomina argumento principal al único valor tal que , y se denota

Se verifica entonces que

.

Dos números complejos y , representados en forma polar son iguales si y sólo si sus módulos son iguales , y sus argumentos se diferencian en un número entero de vueltas, es decir, , con .

La forma polar de un número complejo es especialmente cómoda a la hora de multiplicar, ya que basta con multiplicar los módulos y sumar los argumentos, es decir, si , y , entonces

Del mismo modo se puede calcular el cociente de un complejo por otro no nulo sin más que dividir los módulos y restar los argumentos:

,

siempre que .

Las fórmulas anteriores pueden generalizarse para el producto de varios complejos, así, si , para , entonces

Finalmente, en el caso en que todos los factores sean iguales se obtiene la fórmula de Moivre:

Esta fórmula es también válida para exponentes enteros negativos, siempre que .

En particular tenemos otra expresión para el inverso de un número no nulo, .

(Aquí puedes ver una aplicación de la fórmula de Moivre)

Cambio de forma binómica a polar y viceversa:

Cambio de binómica a polar Cambio de polar a binómica

3. Forma exponencial

Una variante de la forma polar se obtiene al tener en cuenta la conocida como fórmula de Euler:

para .

Esto nos permite escribir un número complejo en la forma siguiente, denominada forma exponencial:

Esta nueva forma es especialmente cómoda para expresar productos y cocientes ya que sólo hay que tener en cuenta las propiedades de la función exponencial (para multiplicar se suman exponentes y para dividir se restan). En particular, para potencias con exponentes enteros se tiene .

Esto nos permite dar una nueva expresión para el inverso de un complejo no nulo en la forma .

1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo.

Forma Polar

El producto de dos número complejos diferente de cero está dado en la forma polar por el producto de sus valores absolutos y la suma de sus argumentos. El cociente de dos números complejos diferentes de cero está dado por el cociente de sus valores absolutos y la diferencia de sus argumentos.

=Argumento de un número complejo=

El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg(z).

Forma exponencial

A veces, y por simple comodidad se prefiere trabajar con la forma trigonométrica en vez de con la forma binomica: Sea Z un número complejo cualquiera su representación

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