Formulas De Colas

Formulas

Se dice que esta variable aleatoria tiene una distribución exponencial con parámetro si su función de densidad de probabilidad es:

Las probabilidades acumuladas son

y el valor esperado y la variancia de T son

¿Cuáles son las implicaciones para el modelo de colas si se supone que T tiene una distribución exponencial? Para explorar esta pregunta se examinarán seis propiedades de la distribución exponencial.

Propiedad 1: fT (t) es una función de t estrictamente decreciente de t (t >0).

Una consecuencia de la propiedad 1 es que

para cualesquiera valores estrictamente positivos de Dt y t. [Ésta es una consecuencia del hecho de que estas probabilidades son el área bajo la curva de fT (t) en el intervalo indicado de longitud Dt, y la altura promedio de la curva es menor para la segunda probabilidad que para la primera.] Por lo tanto, no sólo es posible sino también bastante probable que T tome un valor pequeño cercano a cero. En realidad,

FIGURA 17.3 Función de densidad de probabilidad de la distribución exponencial.

mientras que

de manera que es más probable que el valor que tome T sea “pequeño” [esto es, menor que la mitad de E(T)] que “cercano” a su valor esperado [es decir, no más alejado que la mitad de E(T)], aun cuando el segundo intervalo tiene el doble de amplitud que el primero.

¿En realidad, ésta es una propiedad razonable de T en un modelo de colas? Si T representa los tiempos de servicio, la respuesta depende de la naturaleza general del servicio en cuestión.

Propiedad 2: Falta de memoria.

Esta propiedad se puede expresar en forma matemática como

para cualesquiera cantidades positivas de t e Dt. En otras palabras, la distribución de probabilidad del tiempo que falta hasta que ocurra el evento (llegada o terminación de servicio) siempre es la misma, sin importar cuánto tiempo (Dt) haya pasado. En efecto, el proceso “olvida” su historia. Este sorprendente fenómeno ocurre con la distribución exponencial debido a que

En el caso de los tiempos entre llegadas, esta propiedad describe la situación común en donde

el tiempo que transcurre hasta la siguiente llegada está totalmente infl uenciado por el momento en

que ocurrió la última llegada. En el caso de los tiempos de servicio, esta propiedad es más difícil

de interpretar. No debe esperarse que se cumpla cuando el servidor tiene que realizar la misma

secuencia fi ja de operaciones para cada cliente, porque entonces un servicio largo y lento debe

implicar que tal vez queda muy poco por hacer. Sin embargo, en la clase de situación en la que las

operaciones de servicio que se requieren difi eren entre los clientes, la afi rmación matemática de

la

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