Fuerzas Conservativas

Definicon d ela fuerza conservativa

Fuerza conservativa. Energía potencial

Un fuerza es conservativa cuando el trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre los valores inicial y final de una función que solo depende de las coordenadas. A dicha función se le denomina energía potencial.

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El trabajo de una fuerza conservativa no depende del camino seguido para ir del punto A al punto B.

El trabajo de una fuerza conservativa a lo largo de un camino cerrado es cero.

[Math Processing Error]

Ejemplo

Sobre una partícula actúa la fuerza F=2xyi+x2j N

Calcular el trabajo efectuado por la fuerza a lo largo del camino cerrado ABCA.

• La curva AB es el tramo de parábola y=x2/3.

• BC es el segmento de la recta que pasa por los puntos (0,1) y (3,3) y

• CA es la porción del eje Y que va desde el origen al punto (0,1)

El trabajo infinitesimal dW es el producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento

dW=F•dr=(Fxi+Fyj)•(dxi+dyj)=Fxdx+Fydy

Las variables x e y se relacionan a través de la ecuación de la trayectoria y=f(x), y los desplazamientos infinitesimales dx y dy se relacionan a través de la interpretación geométrica de la derivada dy=f’(x)•dx. Donde f’(x) quiere decir, derivada de la función f(x) con respecto a x.

Vamos a calcular el trabajo en cada unos de los tramos y el trabajo total en el camino cerrado.

• Tramo AB

Trayectoria y=x2/3, dy=(2/3)x•dx.

[Math Processing Error]

• Tramo BC

La trayectoria es la recta que pasa por los puntos (0,1) y (3,3). Se trata de una recta de pendiente 2/3 y cuya ordenada en el origen es 1.

y=(2/3)x+1, dy=(2/3)•dx

[Math Processing Error]

• Tramo CD

La trayectoria es la recta x=0, dx=0, La fuerza F=0 y por tanto, el trabajo WCA=0

• El trabajo total

WABCA=WAB+WBC+WCA=27+(-27)+0=0

El peso es una fuerza conservativa

Calculemos el trabajo de la fuerza peso F=-mg j cuando el cuerpo se desplaza desde la posición A cuya ordenada es yAhasta la posición B cuya ordenada es yB.

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La energía potencial Ep correspondiente a la fuerza conservativa peso tiene la forma funcional

[Math Processing Error]

Donde c es una constante aditiva que nos permite establecer el nivel cero de la energía potencial.

Ejemplo de lla fuerza conservativa

La fuerza que ejerce un muelle es conservativa

Como vemos en la figura cuando un muelle se deforma x, ejerce una fuerza sobre la partícula proporcional a la deformación x y de signo contraria a ésta.

Para x>0, F=-kx

Para x<0, F=kx

El trabajo de esta fuerza es, cuando la partícula se desplaza desde la posición xA a la posiciónxB es

[Math Processing Error]

La función energía potencial Ep correspondiente a la fuerza conservativa F vale

[Math Processing Error]

El nivel cero de energía potencial se establece del siguiente modo: cuando la deformación es cero x=0, el valor de la energía potencial se toma cero, Ep=0, de modo que la constante aditiva vale c=0.

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Principio de conservación de la energía

Si solamente una fuerza conservativa F actúa sobre una partícula, el trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor inicial y final de la energía potencial

[Math Processing Error]

Como hemos visto en el apartado anterior, el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúa sobre la partícula es igual a la diferencia entre el valor final e inicial de la energía cinética.

[Math Processing Error]

Igualando ambos trabajos, obtenemos la expresión del principio de conservación de la energía

EkA+EpA=EkB+EpB

La energía mecánica de la partícula (suma de la energía potencial más cinética) es constante en todos los puntos de su trayectoria.

Comprobación del principio de conservación de la energía

Un cuerpo de 2 kg se deja caer desde una altura de 3 m. Calcular

1. La velocidad del cuerpo cuando está a 1 m de altura y cuando llega al suelo, aplicando las fórmulas del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

2. La energía cinética potencial y total en dichas posiciones

Tomar g=10 m/s2

• Posición inicial x=3 m, v=0.

Ep=2•10•3=60 J, Ek=0, EA=Ek+Ep=60 J

• Cuando x=1 m

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Ep=2•10•1=20 J, Ek=40, EB=Ek+Ep=60 J

• Cuando x=0 m

[Math Processing Error]

Ep=2•10•0=0 J, Ek=60, EC=Ek+Ep=60 J

La energía total del cuerpo es constante. La energía potencial disminuye y la energía cinética aumenta.

Fuerza conservativa

En un campo conservativo, el trabajo realizado para ir del punto A al punto B depende sólo de A y de B: es independiente de la trayectoria que se utilice para desplazarse entre ambos.

En física, un campo de fuerzas es conservativo si el trabajo realizado para desplazar una partícula entre dos puntos es independiente de la trayectoria seguida entre tales puntos. El nombre conservativo se debe a que para un campo de fuerzas de ese tipo existe una forma especialmente simple de la ley de conservación de la energía.

Índice

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• 1 Criterios de caracterización de una fuerza conservativa

o 1.1 Conservatividad local

o 1.2 Potencial

o 1.3 Demostración de equivalencia de los criterios

• 2 Conservación de la energía

• 3 Ejemplos

o 3.1 Fuerzas conservativas

o 3.2 Campos conservativos

o 3.3 Fuerzas no conservativas

o 3.4 Campos no conservativos

• 4 Propiedades

• 5 Véase también

[editar]Criterios de caracterización de una fuerza conservativa

Puede demostrarse que un campo es conservativo si presenta alguna de las propiedades siguientes (de hecho si cumple una de ellas, cumplirá las otras ya que matemáticamente son equivalentes):

• Hay un campo escalar con:

(1)

donde es el gradiente del campo escalar V(r).

• El trabajo

(2a)

a lo largo de un camino cualquiera S a través del campo de fuerza depende sólo de los puntos inicial y final y no de la trayectoria. En particular, el trabajo por una curva cerrada C es cero, también

(2b)

• El campo es simplemente continuo y cumple la condición de integrabilidad:

(3) . Eso significa que, si la rotación desaparece, también lo hará

Un ejemplo de

...