Fuerzas en el plano y en el espacio

4.1 fuerzas en el plano y en el espacio

Para definir la posición de una ciudad nosotros siempre hablamos en términos de distancia (en km o m), de una dirección (sur, norte, oriente, occidente) y de altura o altitud.

La posición de Cartagena, desde Medellín, se puede expresar como una distancia 600 km, una dirección, norte, y una altitud, bajando 1500m.

Así para ubicar cualquier punto en el espacio necesitamos definir tres cantidades que pueden ser:

tres distancias perpendiculares entre si, por lo general se trazan paralelas a los ejes coordenados o 1 distancia total y dos direcciones o dos distancias y una dirección.

F = Fxi + Fyj + Fzk = Ö Fx2 + Fy2 + Fz2 = Fl å F = 0

Fx= FCosq x

Fy= FCosq y

Fz= FCosq z

El vector unitario se representa por l , y es aquel cuya magnitud es igual a 1 y tiene la misma dirección que F:

l = (Cosq xi + Cosq yj + Cosq zk)/ l

q x = Cos-1l i q y = Cos-1l j q z = Cos-1l k

Nota: El principio de Transmisibilidad que nos permite mover las fuerzas a lo largo de su línea de acción será de gran utilidad

Al trazar el vector de posición, rOA , el cual llamaremos A, nos damos cuenta que este se puede expresar como la suma de tres vectores paralelos a los ejes coordenados, donde estos vectores corresponden a las componentes rectangulares de ese vector en el espacio:

Como ya sabemos la suma de estos tres vectores se realiza por el método de cabeza y cola y cumple la ley conmutativa de la adición, esto quiere decir que nos podemos ir por cualquier camino siguiendo líneas paralelas a los ejes coordenados y siempre llegaremos al punto A.

También se sabe que la ubicación de un punto se puede conocer si se conocen dos distancias y una dirección. En este caso el vector de posición del punto A, se puede expresar como la suma de dos vectores perpendiculares entre sí:

Donde es la proyección del vector en el plano XY y es la proyección del vector sobre el eje Z. Estos tres vectores forman un triángulo rectángulo donde la diagonal es el vector resultante de la suma de los dos catetos (ver figura).

Proyecciones de

y

Magnitud de un vector en el espacio: considerando las componentes rectangulares podemos determinar la magnitud si trabajamos con triángulos rectángulos y aplicando Pitágoras.

La magnitud de un vector en el espacio es la raíz de la suma de los cuadrados de las magnitudes de sus componentes.

La magnitud del vector unitario es 1, por lo tanto:

, de lo cual podemos concluir que la suma de los cuadrados de los cosenos directores es igual a 1. Esta igualdad nos permite conocer un ángulo director, si conocemos los otros dos.

Regla de la mano derecha: para colocación de los ejes x,y, z. Los ejes coordenados en el espacio deben cumplir con una convención de rotaciones que llamamos la regla de la mano derecha. Colocando los dedos de la mano derecha sobre el eje X positivo y produciendo un giro hacia el eje Y positivo encuentro el eje Z positivo con mi dedo pulgar. Recuerdo que Z es perpendicular al plano XY.

Vector de posición en el espacio: Igual que en dos dimensiones, podemos expresar la posición de un punto con respecto a otro por medio de un vector. Para ir del punto A al punto B, o definir la posición de B con respecto a A, no es mas que avanzar de A a B en forma paralela a los ejes coordenados, encontrando las distancias netas paralelas a ellas.

Una partícula está en equilibrio si la resultante de todas sus fuerzas es cero, por tanto, se debe cumplir lo siguiente:

Fx = 0

Fy = 0

Fz = 0

Estas ecuaciones se utilizan para resolver problemas que tratan con el equilibrio de una partícula, en la que no hay más de tres incógnitas.

Método a seguir:

• Hacer un diagrama de cuerpo libre que muestre todas las fuerzas que actúan sobre la partícula.

• Escribir las ecuaciones de equilibrio.

• Resolver.

emplos: 4.1

4.2

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

4.3 MOMENTO DE UNA FUERZA

Se denomina momento de una fuerza respecto de un punto, al producto vectorial del vector posición r de la fuerza por el vector fuerza F.

M = rF

La analogía de la llave y el tornillo, nos ayuda a entender el significado físico de la magnitud momento, y a determinar correctamente el módulo, la dirección y el sentido del momento de una fuerza:

• El módulo es el producto de la fuerza por su brazo (la distancia desde el punto O a la recta de dirección de la fuerza). M = Fd

• La dirección perpendicular al plano que contiene la fuerza y el brazo.

• El sentido viene determinado por el avance del tornillo cuando hacemos girar a la llave.

En la primera figura, el tornillo avanza en una dirección perpendicular al plano de la página, y hacia el lector. El módulo del momento es Fd.

En la segunda figura, el tornillo avanza en una dirección perpendicular al plano de la página, y hacia dentro (sentido contrario al anterior). El módulo del momento es F2d. Con una llave más larga estamos en una situación más favorable que disponiendo de una llave más corta.

En la tercera figura, el tornillo avanza en una dirección perpendicular al plano de la página, y hacia el lector. El módulo del momento es F•sen30•2d=Fd. Esta situación es equivalente a la primera.

• Un momento se considera positivo si el tornillo sale, avanza hacia el lector, la llave gira en sentido contrario a las agujas del reloj.

• Un momento se considera negativo si el tornillo entra, la llave gira en el sentido de las agujas del reloj.

Supongamos una barra de masa despreciable, que está sujeta por su extremo O.

Si colocamos un peso P a una distancia x del origen. El momento de esta fuerza respecto del origen O es P•x.

Para que la barra esté en equilibrio la fuerza F deberá ser tal que el momento total sea nulo. F.d = P.x

Cuando se aplica una fuerza en algún punto de un cuerpo rígido, dicho cuerpo tiende a realizar un movimiento de rotación en torno a algún eje.

Ahora bien, la propiedad de la fuerza aplicada para hacer girar al cuerpo se mide con una magnitud física

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