Funciones Convexas

[pic 1][pic 2]

1. Determinar si los conjuntos siguientes son convexos

1. S = {(x, y) ∈ R2 /(x − 1)2 + y2 ≤ 3, −3x2 − 2y2 ≥ −1}
2. P = {(x, y) ∈ R2/ sen(x)+y = 0}
3. Q = {{(x, y) ∈ R2/Ln(xy) > 3x + y = 5}

2.-        Estudiar si el conjunto S definido como: S = {(x,y,z) ∈ R3 / x +y + 2 z2 ≤ 10 } es un conjunto convexo

3.- Sea {[pic 3]} una familia de subconjuntos convexos de        . Probar que:[pic 4]

1. El conjunto intersección X=[pic 5] es convexo
2. El conjunto producto cartesiano X= [pic 6] es convexo.

[pic 7]

1. Si f es un conjunto finito , es decir I={1,…m}entonces el conjunto suma

[pic 8]

1. Si C es convexo, entonces        C = {[pic 9]x/x ∈ C},        ∈ R, es convexo.[pic 10][pic 11]

4.-        Sea A una matriz de orden m x n y [pic 12] un vector de        . Demostrar que los siguientes conjuntos son convexos[pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]

5.- En [pic 17] consideramos el subconjunto M = {[pic 18]}. Escribir los conjuntos de las combinaciones lineales, combinaciones lineales no negativas y combinaciones lineales convexas de los elementos de M. Representar gráficamente dichos conjuntos.

6.-        Sea S un subconjunto arbitrio de        , probar que las siguientes condiciones son equivalentes:[pic 19]

1. H(s) es el cierre convexo de S.
2. H(s) es el menor conjunto convexo que contiene a S
3. Si {[pic 20]} es la familia de todos los subconjuntos convexos de        que contienen a S[pic 21]

(es decir, S        ) entonces H(s)=[pic 22][pic 23]

7.-        La imagen de un conjunto convexo obtenida mediante una aplicación lineal es un conjunto convexo.

8-        Sea S un conjunto cualquiera. Definimos su envolvente convexa, H(S), por la intersección de los conjuntos convexos que contienen a S; es decir, es el menor conjunto convexo que contiene a S, ya que la intersección convexos es convexo. Probar que

H(s) = [pic 24]

9.-        H(S) Sea C ⊆ Rn convexo. Demostrar que x ∈ C es punto extremo de C si y solo si C − {x} es convexo.

1. Encontrar los puntos extremas de los siguientes conjuntos poliédricos:

1. S = {(x1, x2, x3)/x1 + x2 + x3 ≤ 2; x1 + x2 = 1; x1, x2, x3 ≥ 0}.
2. S = {(x1, x2, x3)/ x1 + x2 + x3 ≤ 10; − x1 + 2 x2 = 4; x1, x2, x3≥ 0}.
3. S = {(x1, x2)/ x1 + 2 x2 ≥ 2; − x1 + x2 = 4; x1, x2 ≥ 0}.
4. S = {( x1, x2)/ − x1 + x2 ≤ 3; x1 + x2 ≤ 2; x2 ≤ 1; x1, x2 ≥ 0}.

11.- Sea        y sea        el conjunto de todas las combinaciones lineales convexas posibles de puntos de S. Entonces, X = Co(S).[pic 25][pic 26]

12.- Todo conjunto        que sea compacto, convexo y no vacío es la envoltura convexa de sus puntos extremos.[pic 27]

13.-  Sean A, B ⊂ Rn no vac´ıos.

1. Si A es convexo, entonces A = conv(A).
2. conv(A) es la intersecci´on de todos los conjuntos convexos1 de Rn que contienen a A.
3. conv(A) + conv(B) = conv(A + B).

14.- Si A ⊂ Rn y x ∈ conv(A), entonces x es combinación lineal convexa de puntos de A af´ınmente independientes (en particular, no mas de n + 1).

...