Funcion Cóncava Y Convexa

FUNCIÓN CÓNCAVA

Una función y=f(x) es cóncava en el intervalo (a,b) si los puntos de la misma están por arriba de los puntos de la tangente a curva en un punto interior de dicho intervalo.

FUNCIÓN CONVEXA

Una función y=f(x) es convexa en el intervalo (a,b) si los puntos de la misma están por debajo de los puntos de la tangente a la curva en un punto cualquiera de dicho intervalo.

EJEMPLOS

 La función f(x) = x2 tiene f''(x) = 2 > 0 en todos los puntos, luego f es una función (estrictamente) convexa.

 La función valor absoluto f(x) = | x | es convexa, incluso a pesar de que no es derivable en el punto x = 0.

 La función f(x) = | x | p para 1 ≤ p es convexa.

 La función f con dominio [0,1] definida por f(0)=f(1)=1, f(x)=0 para 0<x<1 es convexa; es continua en el intervalo abierto (0,1), pero no en 0 ni en 1.

 La función x3 tiene segunda derivada 6x; luego ella es convexa en el conjunto donde x ≥ 0 y cóncava en el conjunto donde x ≤ 0.

 Toda transformación lineal con dominio en es convexa, pero no estrictamente convexa, pues si f es lineal, luego f(a + b) = f(a) + f(b). Esto también se aplica si reemplazamos "convexo" por "cóncavo".

 Toda función afín con dominio en , es decir, cada función de la forma f(x) = aTx + b, es al mismo tiempo convexa y cóncava.

 Toda norma vectorial es una función convexa, por la desigualdad triangular.

 Si f es convexa, la función perspectiva g(x,t) = tf(x / t) es convexa para t > 0.

 Las funciones y g(x) = log(x). son monótonamente crecientes pero no convexas.

 Las funciones h(x) = x2 y k(x) = − x son convexas pero no monótonamente crecientes.

 La función f(x) = 1/x2, con f(0)=+∞, es convexa en los intervalos (0,+∞) y (-∞,0), pero no es convexa en (-∞,+∞), debido al punto x = 0.

Bibliografia

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/deriva5.htm

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