Funciones Matematicas IV

FUNCIÓN INYECTIVA

Una función f es inyectiva si, cuando f(x) = f (y), x = y

• Ejemplo: f(x) = x2 del conjunto de los números naturales a es una función inyectiva.

• (Pero f(x) = x2 no es inyectiva cuando es desde el conjunto de enteros (esto incluye números negativos) porque tienes por ejemplo

• f (2) = 4 y

• f (-2) = 4)

Nota: inyectiva también se llama "uno a uno", pero esto se confunde porque suena un poco como si fuera biyectiva.

Otras formas de definirse:

Una función f: " Xà Y", es inyectiva si a cada valor del conjunto "X" (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto "Y "(imagen) de "f", es decir a cada elemento del conjunto "Y" le corresponde un solo valor de "X" tal que, en el conjunto "X" no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.

O dicho de otra manera:

Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x,y) pertenecientes a la función, las y no se repiten.Para determinar si una función es inyectiva, graficamos la función por medio de una tabla de pares ordenados. Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las y (las ordenadas) se repiten o no.

EJEMPLO 1: Determinar si la siguiente función es o no inyectiva: f(x) = x2 – 2

Asignando valores a "x" y representándolos en la tabla resulta:

x -3 -2 -1 0 1 2 3

f(x) 5 2 -1 -2 -1 2 5

Donde su gráfica será:

EJEMPLO 2: Determinar si la siguiente función es o no inyectiva: g(x) = 1 – x3.

Asignando valores a "x" y representándolos en la tabla resulta:

x -3 -2 -1 0 1 2 3

f(x) 28 9 2 1 0 -7 -26

Donde su gráfica será:

Si hay duda sobre su entendimiento veamos otra forma de expresión matemática y sus ejemplos:

Una función es inyectiva si a cada elemento del rango o imagen se le asocia con uno y solo un elemento del domino.

Ejemplo 1:

Sea A= {1, 2,3} B= {1, 2,3};

f: A.B:

f= {(1,2), (2,1), (3,3)}

Es decir, gráficamente queda:

Nótese que cada elemento delconjunto B recibe solamente una línea.

ENTONCES ES INYECTIVA.

Ejemplo 2.

Sea A= {1, 2,3} B= {1, 2,3};

f: A.B:

f= {(1,2), (2,1), (3,2)}

(Solo se cambió el número indicado en rojo) Gráficamente:

Hay un elemento de B (el número 2) que recibe dos flechas o líneas, por lo tanto

NO ES INYECTIVA.

Ejemplo 3.

Para la siguiente función: f(x) = y = x-1. A cada elemento del domino se le relaciona en la función con UN elemento de la imagen,

Por lo tanto ES INYECTIVA.

NOTA: El domino y la imagen son todos los reales:

Ejemplo 4.

Si la función fuera parábola, f(x)=x2 como la que se muestra a continuación:

Hay elementos en el domino que se le asigna el mismo valor de la imagen; por ejemplo la pareja de valores P1 (2,4) tiene el mismo valor de la imagen 4; que el punto P2 (-2,4). Por lo tanto la

Función

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