Funciones Matematicas
alezal15 de Agosto de 2011
2.324 Palabras (10 Páginas)2.565 Visitas
Función exponencial.
a. Definición:
Se llama función exponencial de base b, siendo b un número real positivo y distinto de 1, a la función
F: R ® R
x ® f(x) = bx
Si b>o y b no es igual a 1 entonces una función exponencial y =f(x) tiene la forma f(x)=b con exponente x. el numero b se llama base y x se llama exponente.
b. Propiedades básicas de f(x) = bx, b > 0, b no es igual a 1.
El dominio de una exponencial f definida en (1) es el conjunto de todos los números reales (des de el menos infinito, hasta el mayor infinito positivo,).
En (1), la base b se restringe a número positivos, para garantizar que bx siempre sea un número real. Por ejemplo, con esta restricción se evitan números complejos, como (-4)1/2. También, cuando la base b = 1 tiene poco interés para nosotros, es porque (1) es la función constante f(x) = 1x =1.
c. Graficas:
i) b<1 f creciente.
ii) 0<b<1 f decreciente.
d. Propiedades de la función experimental:
La lista siguiente resume algunas de las propiedades importantes de la función exponencial f con base b.
• El dominio de f es el conjunto de los números reales, esto es, (desde el menos infinito hasta en el mayor infinito).
• El contradominio de f es el conjunto de los numeros reales positivos, esto es , 8 desde ero hasta el mas infinito).
• La interseccion con el eje y de f esta en (0,1).la grafica no tiene intersecciòn con el eje x.
• La función f es creciente para b>1 y es decreciente para 0<b<1.
• E3l eje x, esto es, y=0, es una asíntota horizontal para la grafica de f.
• La función f es continua en.(el menos infinito, hasta el más infinito).
• La función f es uno a uno
e. Definición de la función exponencial con base e.
La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828…. Esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.
En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma
Siendo números reales, . Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.
Función logarítmica
a. Definición de una función logarítmica
Se llama función logarítmica a la función real de variable real:
La función logarítmica es una aplicación biyectiva definida de R*+ en R:
o La función logarítmica solo está definida sobre los números positivos.
o Los números negativos y el cero no tienen logaritmo
o La función logarítmica de base a es la recíproca de la función exponencial de base a.
o Las funciones logarítmicas más usuales son la de base 10 y la de base e = 2’718281…
Debido a la continuidad de la función logarítmica, los límites de la forma
Se hallan por medio de la fórmula :
Logaritmos
A las operaciones, ya conocidas, de Adición, Sustracción, Multiplicación, División, Potenciación y Radicación, añadimos una nueva que llamamos Logaritmación.
Los logaritmos fueron introducidos en las matemáticas con el propósito de facilitar, simplificar o incluso, hacer posible complicados cálculos numéricos. Utilizando logaritmos podemos convertir : productos en sumas, cocientes en restas, potencias en productos y raíces en cocientes.
• Definición de logaritmo :
Se llama logaritmo en base a del número x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho número.
Que se lee: “el logaritmo en base a del número x es b”, o también: “el número b se llama logaritmo del número x respecto de la base a “.
Como podemos ver, un logaritmo no es otra cosa que un exponente, hecho que no debemos olvidar cuando trabajemos con logaritmos.
La constante a es un número real positivo distinto de 1, y se denomina base del sistema de logaritmos. La potencia ab
Para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a > 0.
La función logarítmica (o función logaritmo) es una aplicación biyectiva del conjunto de los números reales positivos, sin el cero, en el conjunto de los números reales:
Es la función inversa de la función exponencial.
La operación logaritmación (extracción de logaritmos, o tomar logaritmos) es siempre posible en el campo real cuando tanto la base a del logaritmo como el número x son positivos, (siendo, además, a distinto de 1)
b. Propiedades básicas :
c. Gráfica de la función logarítmica :
a>1
0<a<1
d. Logaritmos comunes
Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el número 10. Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base.
e. Logaritmos naturales
Se llaman logaritmos neperianos, naturales o hiperbólicos a los logaritmos que tienen por base el número e.
• Cambio de Base :
• Antilogaritmo :
Es el número que corresponde a un logaritmo dado. Consiste en el problema inverso al cálculo del logaritmo de un número.
es decir, consiste en elevar la base al número resultado :
• Cologaritmo :
Se llama cologaritmo de un número N al logaritmo de su recíproco.
• Equivalencias útiles :
• Ecuaciones Logarítmicas :
Aquella ecuación en la que la incógnita aparece sometida a la operación de logaritmación.
La igualdad de los logaritmos de dos expresiones implica la igualdad de ambas. (principio en el que se fundamenta la resolución de ecuaciones logarítmicas, también se llama “tomar antilogaritmos”)
Frecuentemente se resuelven aplicando las propiedades de los logaritmos antes enunciadas, en orden inverso, simplificando y realizando transformaciones oportunas.
• Sistemas de Ecuaciones Logarítmicas :
Se llaman sistemas de ecuaciones logarítmicas a los sistemas de ecuaciones en los que la/s incógnita/s está sometida a la operación logaritmo.
Se resuelven como los sistemas ordinarios pero utilizando las propiedades de los logaritmos para realizar transformaciones convenientes.
• Características útiles :
Si a > 1
Los números menores que 1 tienen logaritmo negativo
Los números mayores que 1 tienen logaritmo positivo
Si 0 < a < 1
Los números menores que 1 tienen logaritmo positivo
Los números mayores que 1 tienen logaritmo negativo
Funciones trigonométrica
a. Definición de funciones circulares
Cuando trabajamos en radianes, las medidas de los ángulos son números reales. Si definimos ángulos orientados esta medida puede tomar valores negativos. Al trabajar con un ángulo en un sistema de coordenadas cartesianas, éste está generado por la rotación de una semirrecta o rayo que parte del semieje positivo de las x.
Si el lado gira en sentido contrario a las agujas del reloj, se dice que el ángulo es positivo. Y es negativo cuando está generado en sentido horario.
Puede, además, realizar más de un giro completo.
Para referirnos
...