Funciones Matematicas

Función exponencial.

a. Definición:

Se llama función exponencial de base b, siendo b un número real positivo y distinto de 1, a la función

F: R ® R

x ® f(x) = bx

Si b>o y b no es igual a 1 entonces una función exponencial y =f(x) tiene la forma f(x)=b con exponente x. el numero b se llama base y x se llama exponente.

b. Propiedades básicas de f(x) = bx, b > 0, b no es igual a 1.

El dominio de una exponencial f definida en (1) es el conjunto de todos los números reales (des de el menos infinito, hasta el mayor infinito positivo,).

En (1), la base b se restringe a número positivos, para garantizar que bx siempre sea un número real. Por ejemplo, con esta restricción se evitan números complejos, como (-4)1/2. También, cuando la base b = 1 tiene poco interés para nosotros, es porque (1) es la función constante f(x) = 1x =1.

c. Graficas:

i) b<1 f creciente.

ii) 0<b<1 f decreciente.

d. Propiedades de la función experimental:

La lista siguiente resume algunas de las propiedades importantes de la función exponencial f con base b.

• El dominio de f es el conjunto de los números reales, esto es, (desde el menos infinito hasta en el mayor infinito).

• El contradominio de f es el conjunto de los numeros reales positivos, esto es , 8 desde ero hasta el mas infinito).

• La interseccion con el eje y de f esta en (0,1).la grafica no tiene intersecciòn con el eje x.

• La función f es creciente para b>1 y es decreciente para 0<b<1.

• E3l eje x, esto es, y=0, es una asíntota horizontal para la grafica de f.

• La función f es continua en.(el menos infinito, hasta el más infinito).

• La función f es uno a uno

e. Definición de la función exponencial con base e.

La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828…. Esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.

En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma

Siendo números reales, . Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.

Función logarítmica

a. Definición de una función logarítmica

Se llama función logarítmica a la función real de variable real:

La función logarítmica es una aplicación biyectiva definida de R*+ en R:

o La función logarítmica solo está definida sobre los números positivos.

o Los números negativos y el cero no tienen logaritmo

o La función logarítmica de base a es la recíproca de la función exponencial de base a.

o Las funciones logarítmicas más usuales son la de base 10 y la de base e = 2’718281…

Debido a la continuidad de la función logarítmica, los límites de la forma

Se hallan por medio de la fórmula :

Logaritmos

A las operaciones, ya conocidas, de Adición, Sustracción, Multiplicación, División, Potenciación y Radicación, añadimos una nueva que llamamos Logaritmación.

Los logaritmos fueron introducidos en las matemáticas con el propósito de facilitar, simplificar o incluso, hacer posible complicados cálculos numéricos. Utilizando logaritmos podemos convertir : productos en sumas, cocientes en restas, potencias en productos y raíces en cocientes.

• Definición de logaritmo :

Se llama logaritmo en base a del número x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho número.

Que se lee: “el logaritmo en base a del número x es b”, o también: “el número b se llama logaritmo del número x respecto de la base a “.

Como podemos ver, un logaritmo no es otra cosa que un exponente, hecho que no debemos olvidar cuando trabajemos con logaritmos.

La constante a es un número real positivo distinto de 1, y se denomina base del sistema de logaritmos. La potencia ab

Para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a > 0.

La función logarítmica (o función logaritmo) es una aplicación biyectiva del conjunto de los números reales positivos, sin el cero, en el conjunto de los números reales:

Es la función inversa de la función exponencial.

La operación logaritmación (extracción de logaritmos, o tomar logaritmos) es siempre posible en el campo real cuando tanto la base a del logaritmo como el número x son positivos, (siendo, además, a distinto de 1)

b. Propiedades básicas :

c. Gráfica de la función logarítmica :

a>1

0<a<1

d. Logaritmos comunes

Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el número 10. Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base.

e. Logaritmos naturales

Se llaman logaritmos neperianos, naturales o hiperbólicos a los logaritmos que tienen por base el número e.

• Cambio de Base :

• Antilogaritmo :

Es el número que corresponde a un logaritmo dado. Consiste en el problema inverso al cálculo del logaritmo de un número.

es decir, consiste en elevar la base al número resultado :

• Cologaritmo :

Se llama cologaritmo de un número N al logaritmo de su recíproco.

• Equivalencias útiles :

• Ecuaciones Logarítmicas :

Aquella ecuación en la que la incógnita aparece sometida a la operación de logaritmación.

La igualdad de los logaritmos de dos expresiones implica la igualdad de ambas. (principio en el que se fundamenta la resolución de

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