Funciones Matematicas

Introducción

Trataremos de manera breve sobre, las funciones crecientes y decrecientes formulas aplicadas, como se grafica cuales son:

• Sus puntos máximos

• Intervalo de concavidad

• Puntos de inflexión

DEFINICION DE FUNCION CRESIENTE Y DECRESIENTE

Una función f es creciente en un intervalo I si para cualquier par de números x1, x2 del intervalo, si x1 < x2 implica f(x1) < f(x2)

Una función f es decreciente en un intervalo I si para cualquier par de números x1, x2 del intervalo, si x1 > x2 implica f(x1) > f(x2)

En una función f en un intervalo I, para cualquier par de números x1,

FUNCION CRECIENTE FUNCION DECRESIENTE

Sea f una función continua con ecuación y = f(x), definida en un intervalo [a,b]. La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo [a,b].

En la gráfica anterior puede observarse que la función f es:

1.) Creciente en los intervalos (a,x3),(x5,x6)

2.) Decreciente en los intervalos(x3,x5),(x6,b)

Criterio de crecimiento y decrecimiento

Sea f una función continua en el intervalo cerrado y derivable en el intervalo abierto .

1. Si es creciente en

2. Si es decreciente en

3. Si es constante en

Ejemplo 1

Determinemos los intervalos en que crece o decrece la función con ecuación f(x) = 1 / 2(x2 − 4x + 1).

Para ello calculemos la primera derivada de f:f'(x) = x − 2.

Como f'(x) > 0 ↔ x− 2 > 0, o sea si x > 2, entonces f es creciente para x > 2.

Como f'(x) < 0 ↔ x− 2 < 0, o sea si x < 2, entonces f es decreciente para x < 2.

En la gráfica de la función puede observarse lo obtenido anteriormente.

Ejemplo 2

Determinar los intervalos en que crece o decrece la función f con ecuación f(x) = (x + 1) / (x − 1), con x ≠ 1.

La derivada de f es f'(x) = − 2 / (x − 1)2.

Como (x − 1)2es mayor que cero para x en los Reales, x ≠ 1, y además − 2 < 0entonces f'(x) < 0para todo x en los Reales (x ≠ 1), por lo que la función f es decreciente para x en los Reales, x ≠ 1 . La siguiente, es la gráfica de dicha función:

PUNTOS MAXIMOS Y MINIMOS

1.- Se dice que una función f(x) tiene un máximo local M en x = x0, si f(x0) ≥ f(x) para toda x en un intervalo (a,b) tal que x0, pertenezca a dicho intervalo.

2.- Se dice que una función f(x) tiene un mínimo local m en x = x0, si f(x0) ≤ f(x) para toda x en un intervalo (a,b) tal que x0 pertenezca a dicho intervalo.

Ejemplos

1.- Determina los puntos máximos y mínimos para la función:

f(x) = 3x2 – 12x + 15, utiliza el criterio de la primera derivada.

Solución.

Paso 1

Se obtiene la derivada de la función:

f1(x) = 6x – 12

Paso 2

La derivada se iguala a cero y se resuelve la ecuación:

f1(x)= 6x – 12; 6x – 12 = 0 donde x=2

Este resultado recibe el nombre de valor o punto crítico.

Paso 3

Se da un valor menor y uno mayor próximo al valor crítico y se evalúan en la derivada.

Para x = 2 se toman los valores 1 y 3

f1(1) = 6(1) – 12 = - 6 < 0 y f1(3) = 6(3) – 12 = 6 > 0

El cambio negativo a positivo, entonces la función tiene un valor mínimo en x= 2.

Paso 4

El valor crítico se evalúa en la función:

f(2) = 3(2)2 – 12(2) + 15

f(2) = 3

Por consiguiente, el punto mínimo es (2,3)

2.- Obtén los puntos máximos y mínimos para la función:

f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 15

Solución

Paso 1

Se obtiene la derivada de la función:

f1(x) = 6x2 – 6x – 12

Paso 2

La derivada se iguala a cero y se resuelve la ecuación:

f1(x) = 6x2 – 6x – 12 6x2 – 6x – 12 = 0

x2 – x – 2 = 0

(x – 2)(x + 1) = 0

Los valores críticos son:

x1 = 2, x2 = -1

Paso 3

Se dan valores menores y mayores próximos a los valores

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