Función Exponencial

Función Exponencial

Sea un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia se llama función exponencial de base a y exponente x.

Como para todo |R, la función exponencial es una función de |R en |R .

En el siguiente teorema, se presentan las propiedades más importantes de la función exponencial.

Teorema (Leyes de los Exponentes)

Sean a y b reales positivos y x,y  |R, entonces:

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Cuando a > 1, si x < y, entonces, . Es decir, cuando la base a es mayor que 1, la función exponencial de base a es estrictamente creciente en su dominio.

Cuando 0 < a < 1, si x < y , entonces, .

Esto significa que la función exponencial de base a < 1 es estrictamente decreciente en su dominio.

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Gráfica de la Función Exponencial

Cuando la base a es mayor que 1, por ejemplo, la función exponencial no estaría acotada superiormente. Es decir, crece sin límite al aumentar la variable x. Además, ésta función tiene al cero como extremo inferior. Quiere decir que tiende a cero, cuando x toma valores grandes pero negativos.

Igualmente, cuando la base a es menor a 1, la función exponencial no está acotada superiormente, pero su comportamiento para valores grandes de x, en valor absoluto, es diferente. Así, crece sin límite, al tomar x valores grandes, pero negativos y tiende a cero, cuando la variable x toma valores grandes positivos.

El hecho de ser la función exponencial con a > 1, estrictamente creciente (estrictamente decreciente cuando 0 < a < 1), significa que la función exponencial es inyectiva en su dominio. Este hecho y la continuidad de la función son las condiciones que se exigen para garantizar la existencia de la función inversa ( función logarítmica).

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