Física de las Comunicaciones Electrónica y Electromagnetismo

Física de las Comunicaciones © Electrónica y Electromagnetismo

Señales y Análisis de Fourier

En esta práctica se pretende revisar parte de la materia del tema 2 de la asignatura desde la

perspectiva de un entorno de cálculo numérico y simulación por ordenador. El objetivo

fundamental es familiarizarse con la definición, manipulación y representación de señales en

MATLAB. Para ello, en primer lugar, repasaremos y consolidaremos las nociones de MATLAB

adquiridas en la práctica anterior; en particular la definición, operación y representación de

señales en el dominio del tiempo. Posteriormente, utilizaremos algunas de las funciones que

ofrece MATLAB para el Análisis de Fourier así como para la manipulación de señales en los

dominios del tiempo y la frecuencia,

1. Introducción

Como ya estudiamos en diversos ejemplos de la práctica anterior, MATLAB es

muy utilizado en la definición, manipulación y representación de señales

analógicas. Siendo rigurosos, el procedimiento seguido en esos ejemplos no es

adecuado para el análisis de señales analógicas; es más, en general, MATLAB

no permite analizar señales analógicasi. Esto se debe a que la forma natural de

representar una señal en MATLAB es definir una secuencia finita de valores

mediante un vector fila. Así, como veremos en el siguiente ejercicio, podemos

definir la secuencia de instantes de tiempo equidistantes (intervalo 1 ms) entre 0

y 0.25s. Y del mismo modo, definimos una señal sinusoide como una secuencia

de valores.

Ejercicio 1

Genere una secuencia de instantes de tiempo que parta de t=0s y llegue hasta

t=0.25s en intervalos de 1ms. Construya una función seno en esa base de

tiempo de amplitud 1 y frecuencia 5Hz. Use plot para dibujar la forma de onda.

Además, destaque cada punto de la gráfica con *.

>> Tinicial=0; % Definimos el tiempo inicial

>> Tfinal=0.25; % Definimos el tiempo final

>> step=0.001; % Definimos el paso entre instantes de tiempo

>> t=Tinicial:step:Tfinal-step; % Se genera el vector de tiempos

>> y=1*sin(5*2*pi*t); % Se genera y

>> plot(t,y); hold on; % Dibujamos y

>> plot(t,y,’*’); % Dibujamos las muestras de y

i. Salvo que se usen bloques funcionales o toolboxes

2

Señales y Análisis de Fourier 2

Física de las comunicaciones © Electrónica y Electromagnetismo

Por tanto, siendo estrictos, en MATLAB toda señal es discreta en tiempo, mientras

que en amplitud puede ser discreta (cuantizada) o continua (aunque limitada

por la precisión de los tipos numéricos). No obstante, si los intervalos

temporales entre valores son suficientemente pequeños y el rango temporal en

el que se define la señal es suficientemente amplio, la secuencia de valores

empleada para representar la señal y las operaciones realizadas para su análisis

proporcionan una buena aproximación a los resultados teóricos. En el caso más

simple y frecuente, los valores se toman en instantes equiespaciados, intervalo

que no debe confundirse con el periodo de muestreo. De momento, ignoraremos

el efecto de la discretización de señales (utilizaremos intervalos de tiempo suficientemente

pequeños, de modo que los efectos sean despreciables). Asimismo,

la amplitud de las señales está sometida a una discretización que, dada la precisión

de los tipos numéricos empleados en MATLAB, podemos ignorar.

1.1. Señales especiales.

Vamos a ver una posible forma de representar en MATLAB algunas señales

analógicas típicas.

SEÑAL ESCALÓN

% Ejemplo de señal escalon

>> t=-10:0.01:10;

>> f_escalon=[zeros(1,1000),ones(1,1001)];

>> plot(t,f_escalon);

SEÑAL PULSO

% Ejemplo de señal pulso

>> t=-10:0.01:10;

>> f_pulso=[zeros(1,950),ones(1,101),zeros(1,950)];

>> plot(t,f_pulso);

SEÑAL SAMPLING

% Ejemplo de señal sampling

>> t=-10:0.01:10;

% Señal sampling nula en t=n*pi, n=1,2,...

>> f_sampling=sin(t)./t;

>> plot(t,f_sampling);

% Señal sinc nula en t=n, n=1,2,...

>> f_sinc=sinc(t);

>> plot(t,f_sinc);

SEÑAL IMPULSO O DELTA DE DIRAC

% Ejemplo de señal impulso

>> t=-10:0.01:10;

>> f_impulso=[zeros(1,1000),1,zeros(1,1000)];

>> plot(t,f_impulso);

SEÑAL DIENTE DE SIERRA

% Ejemplo de señal diente de sierra de periodo 0.1Hz

% sawtooth(x,width) señal en diente de sierra con periodo 2*pi para los

% elementos del vector x. El parámetro “width” es un escalar entre

2. Análisis de Fourier 3

Física de las Comunicaciones © Electrónica y Electromagnetismo

% 0 y 1, y describe la fracción del periodo 2*pi en el que ocurre el

% máximo.

>> t=-10:0.01:10;

>> width=0.10;

>> f_sierra=sawtooth(2*pi*0.1*t,width);

>> plot(t,f_sierra);

SEÑAL TRIANGULAR

% Ejemplo de señal triangular de periodo 0.1Hz

% Es un caso particular de señal diente de sierra con width=0.5

>> t=-10:0.01:10;

>> f_triangular=sawtooth(2*pi*0.1*t,0.5);

>> plot(t,f_triangular);

SEÑAL EXPONENCIAL

% Ejemplo de señal exponencial decreciente

>> t=-10:0.01:10;

% tau: constante de tiempo (RC)

>> tau=200e-2;

>> f_expon=exp(-t/tau);

>> plot(t,f_expon);

SEÑAL CUADRADA

% Ejemplo de señal cuadrada de frecuencia 0.5Hz

% square(x,duty) genera una onda cuadrada de periodo 2*pi con un duty cycle dado

>> t=-10:0.01:10;

>> duty=50; % porcentaje del periodo en el que la señal es positiva

>> f_cuadrada=square(2*pi*0.5*t,duty);

>> plot(t,f_cuadrada);

2.Análisis de Fourier

Las series de Fourier permiten describir señales periódicas como una combinación

de señales armónicas (sinusoides). Con esta herramienta, podemos analizar

una señal periódica en términos de su contenido frecuencial o espectro.

Además, nos permite establecer la dualidad entre tiempo y frecuencia, de forma

que operaciones realizadas en el dominio del tiempo tienen su dual en el

dominio frecuencial. Utilizando operaciones sobre vectores, se pueden calcular

fácilmente los coeficientes de Fourier correspondientes a una señal. En el ejercicio

2, se definen el vector n, que contiene los índices de los coeficientes, y el

vector cn, que contiene los coeficientes. Los coeficientes cn, son los coeficientes

espectrales de la señal. La gráfica de esos coeficientes en función del

índice armónico n o de las frecuencias nwo se denomina espectro. Hay dos tipos

de gráficos, uno con la magnitud de los coeficientes y otro de la fase. Ambas

funciones son discretas en frecuencia.

Señales y Análisis de Fourier 4

Física de las comunicaciones © Electrónica y Electromagnetismo

Ejercicio 2

Escriba un fichero MATLAB que proporcione los coeficientes de Fourier de una

señal cuadrada de periodo 0.2s (frecuencia 5Hz) y amplitud igual a 1V.

% Obtener los coeficientes de Fourier para una señal cuadrada de periodo

% 0.2s y amplitud 1.

clear;

% frecuencia de la señal cuadrada (=1/T)

f=5;

T=1/f;

% Indice de los coeficientes

n=1:10;

% Coeficientes de Fourier

cn=2*(cos(n*pi)-1)./(-2*j*n*pi);

co=1;

subplot(2,1,1);

stem(n,abs(cn));

ylabel('Magnitud de cn');

subplot(2,1,2);

stem(n,angle(cn));

ylabel('fase de cn');

xlabel('n');

A partir de la serie de Fourier, es posible reconstruir una señal periódica. Cuanto

mayor sea el número de armónicos utilizado en el desarrollo en serie, mejor será

la reconstrucción. Un parámetro importante en la reconstrucción de señales es la

velocidad de convergencia, o lo que es lo mismo, la velocidad con la que los

coeficientes de Fourier tienden a 0.

Ejercicio 3

Escriba un fichero en MATLAB para dibujar n armónicos de una señal cuadrada

de periodo 0.2s y amplitud 1.

% Desarrollo en serie de Fourier de una señal cuadrada de periodo 0.2s y amplitud 1

clear;

% frecuencia de la señal cuadrada (=1/T)

f=5;

T=1/f;

% Indice de los coeficientes

n=1:10;

% Generamos la serie de Fourier

t=-1:0.01:1; % vector de tiempos

for i=1:50

for k=1:size(t,2)

s(i,k)=(2*(1-cos(pi*i))/(pi*i))*sin(2*pi*i*f*t(k));

end

end

for k=1:size(t,2)

st(k)=sum(s(:,k));

end

2. Análisis de Fourier 5

Física de las Comunicaciones © Electrónica y Electromagnetismo

st(1)=st(1)+1;

plot(t,st,'r');

hold on;

% Señal cuadrada original

f_cuadrada=square(2*pi*f*t,50);

plot(t,f_cuadrada);

xlabel(‘tiempo’);

ylabel(‘Amplitud’);

MATLAB está equipado con funciones especiales que nos van a permitir

...