Fórmula para calcular el monto de una anualidad

Capítulo 3:

Fórmula para calcular el monto de una anualidad

FÓRMULA PARA EL MONTO DE UNA ANUALIDAD.

FÓRMULA 1.

Esta es la fórmula que utilizaremos para calcular las anualidades, en donde:

MA=Al monto de la anualidad.

A = Es el pago periódico.

i = A la tasa de interés en forma decimal.

n = Al número de periodos de conversión.

Resolviendo nuevamente el primer ejemplo, con esta fórmula, tenemos:

Respuesta: El monto de la anualidad será 4,310.12 quetzales al final de los 4 años

Ejemplo 2. En los últimos 10 años, el señor Atilio Quinilla ha depositado 700 quetzales al final de cada año en una cuenta de ahorro, la cual paga el 3.5% efectivo. ¿Cuánto habrá en la cuenta inmediatamente después de haber hecho el último depósito?

Respuesta. Habrá 8,211.98 quetzales al final de los 10 años, en la cuenta del señor Atilio Quinilla.

EJERCICIOSSS

http://www.slideshare.net/enrique0975/anualidades-monto-y-valor-presente

ANUALIDADES

1).- Hallar el monto y el valor presente de las siguientes anualidades ordinarias:

a) $400 anuales durante 12 años al 2,5%.;

b) $150 mensuales durante 6 años 3 meses al 6% convertible mensualmente.;

c) $500 trimestrales durante 8 años 9 meses al 6% convertible trimestralmente.

Datos del literal “a” R = 400 i = 2,5%  0.025 n = 12 años

Datos del literal “b” R = 150 i = 6%  0.06 como dice que es mensualmente lo dividimos para 12  0.06 ÷ 12 = 0.005 n = 6.25 años como dice que es mensualmente lo multiplicamos por 12  6.25 × 12 = 75 o podemos convertir todo a meses y tenemos que nos da 75 meses.

S=Rx ((〖1+i)〗^n-1)/i=150x ((1+0.005)^75-1)/0.005=150(90.726505)=13608.98

A=Rx (1-(〖1+i)〗^(-n))/i=150x 〖1-(1+0.025)〗^(-75)/0.025=150(62.413645)=9362.05

Datos del literal “c” R = 500 i = 6%  0.06 como dice que es trimestralmente lo dividimos para 4  0.06 ÷ 4 = 0.015 n = 8.75 años como dice que es trimestralmente lo multiplicamos por 4 8.75 × 4 = 35 o podemos convertir todo a meses y tenemos que nos da 35 trimestres.

S=Rx ((〖1+i)〗^n-1)/i=500x ((1+0.015)^35-1)/0.015=500(45.592087)=22796.04

A=Rx (1-(〖1+i)〗^(-n))/i=500x 〖1-(1+0.015)〗^(-35)/0.015=500(27.075594)=13537.80

2).- Qué es más conveniente, comprar un automóvil en $2750 de contado o pagar $500 iniciales y $200 al final de cada mes por los próximos 12 meses, suponiendo intereses calculados al 6% convertible mensualmente.

Datos R = 200

i = 6%  0.06 como dice que es mensualmente lo dividimos para 12  0.06 ÷ 12 = 0.005 n = 12 meses

Necesitamos saber cuanto va a pagar por el automóvil incluida la entrada. Entonces primero debemos hallar el monto que pagará en los 12 meses.

S=Rx ((〖1+i)〗^n-1)/i=200x ((1+0.005)^12-1)/0.005=200(12.335562)=2467.11

Entonces la persona termina pagando por el automóvil $2467.11 + $500 = $2967,11. Es preferible comprarlo de contado porque paga menos.

3).- Un contrato estipula pagos semestrales de $400 por los próximos 10 años y un pago adicional de $2500 al término de dicho periodo. Hallar el valor efectivo equivalente del contrato al 7% convertible semestralmente.

Cuando nos pide hallar valor efectivo estamos hablando de valor presente es decir hallamos “A”.

Datos: R = 400 i = 7%  0.07 como dice que es semestralmente lo dividimos para 2  0.07 ÷ 2 = 0.035 n = 10 años como dice que es semestral lo multiplicamos por 2  10 × 2 = 20

Entonces reemplazamos la fórmula y tenemos:

A=Rx 〖1-(1+i)〗^(-n)/i

A=400x 〖1-(1+0.035)〗^(-20)/0.035=400x 〖1-(1.035)〗^(-20)/0.035=400x (1-0.502565)/0.035

A=400x 0.497434/0.035=400x14.2124033=5684.96

Pero en el ejercicio tenemos un pago adicional de $2500 el cual también debemos hallar el valor presente para este caso lo hacemos con la siguiente fórmula:

C=〖S(1+i)〗^(-n)=2500〖(1+0.035)〗^(-20)=2500〖(1.035)〗^(-20)=2500(0.502565)=1256.41

Entonces para hallar el valor presente del contrato se suman “A” y “C” y tenemos:

V_presente=A+C=5684.96+1256.41=6941.37

4).- Con el objeto de reunir una cantidad que le será entregada a su hijo al cumplir 21 años, un padre deposita $200 cada seis meses en una cuenta de ahorro que paga el 3% convertible semestralmente. Hallar el monto de la entrega si el primer deposito se hizo el día del nacimiento del hijo y el último cuando tenía 201/2 años.

Cuando nos pide hallar monto estamos hablando de “S”.

S=Rx (〖(1+i)〗^n-1)/i

Datos: R = 200 i = 3%  0.03 como dice que es semestralmente lo dividimos para 2  0.03 ÷ 2 = 0.015 n = 21 años como dice que es semestral lo multiplicamos por 2  21 × 2 = 42

S=Rx (〖(1+i)〗^n-1)/i=200x (〖(1+0.015)〗^42-1)/0.015=200x 0.868847/0.015=11584.63

Pero como nosotros retiramos el dinero a los 21 años y no a los 20½ años, este valor $11584.63 se convierte en capital y debemos hallar el monto por el medio año que falta para retirar el dinero y tenemos: S = C (1+ i)n = 11584.63(1 + 0.015) = 11584.63(1.015) = 11758.40 Ahora vamos a deducir la fórmula directa para hallar este monto: Si tenemos y este resultado lo tenemos que multiplicar por (1 + i) tenemos:

S=Rx ((1+i)^n-1)/i x(1+i)=Rx ((1+i)^n (1+i)-1(1+i))/i=Rx (〖(1+i)〗^(n+1)-1-i)/i

S=Rx⟦〖(1+i)〗^(n+1)/i-1/i-├ i/i]=R[〖(1+i)〗^(n+1)/i-├ 1/i-1]=R[(〖(1+i)〗^(n+1)/i-├ ├ 1/i)-1]┤┤┤┤

S=R[(〖1+i)〗^(n+1)/i┤┤-├ ├ 1/i)-1]=R[(├ ├ (〖(1+i)〗^(n+1)-1)/i)-1]=Rx (〖(1+i)〗^(n+1)-1)/i-R┤┤

Ahora si reemplazamos la nueva fórmula tenemos:

S=Rx (〖(1+i)〗^(n+1)-1)/i-R=200x ((1+0.015)^(42+1)-1)/0.015-200

S=200x ((1+0.015)^43-1)/0.015-200=200x 0.89687/0.015-200=200(59.79198)-200

...