Golpe de Ariete

Facultad de Ingeniería y Tecnología – 2°Cuatrimestre – 2018[pic 1]

      Trabajo práctico 5

                       Golpe de Ariete

Objetivos:

En este trabajo se brindará al alumno elementos para estudiar flujos impermanentes generados por interposición de válvulas en cañerías. Se estudiaran diversas maniobras, diagramas instantáneos y envolventes.

Problema 7

1. Describa el método de Pujol

Este método (método de acotamiento) permite trazar los diagramas envolventes de sobrepresiones en el caso de caudales regulados aguas abajo con válvulas tradicionales. Su objetivo es diseñar la maniobra de cierre de manera tal que los espesores de las tuberías surjan del acotamiento de las sobrepresiones máximas. Para lograr el objetivo mencionado, se determinan los valores del caudal Q, la velocidad U y el valor de la sobrepresión máxima ∆h para varios grados de cierre de las válvulas trazando luego, a partir de estos valores, los correspondientes diagramas envolventes para cada caso. Entonces, de la superposición de los mismos, podrá obtenerse el diagrama envolvente global para todo el cierre. Por otro lado, el método considera el efecto amortiguador producido por las pérdidas de carga en la conducción adoptando como línea de referencia (para dibujar los diagramas envolventes) la que se obtiene de considerar la mitad de la pérdida total (∆J*/2). Por lo tanto, el método posibilita el proyecto de una ley de cierre compatible con la conducción y, en especial, con el diseño económico de la misma.

Evaluación del caudal cuando se produce una maniobra de la válvula:

Consideremos el caso de un conducto a gravedad alimentado por un depósito de capacidad infinita regulado aguas abajo mediante un órgano de maniobra (válvula tipo aguja, mariposa o esclusa).

[pic 2]

ΔJ* + Jv = H

Definimos:

• ΔJ* es la pérdida por frotamiento en el conducto. Ésta, se puede calcular mediante la conocida expresión de Hazen y Williams:

[pic 3]

• Jv es la pérdida localizada en el órgano de cierre, la que puede evaluarse con la tradicional función cuadrática:

[pic 4]

k es una constante adimensional que depende del grado de cierre del órgano de maniobra.

H es la altura disponible.

Evidentemente, ΔJ* y Jv varían con el caudal, la ecuación anterior puede ser resuelta mediante la intersección, en el plano Q-H, de las curvas correspondientes:

Reemplazando los valores de ΔJ* y Jv, la expresión a resolver será: 

[pic 5]

Reemplazando los valores de ΔJ* y Jv, la expresión a resolver será:

[pic 6]

Siendo:

     y     [pic 7][pic 8]

Entonces, el problema consistirá en resolver esta ecuación, por el método de Raphson-Newton por ejemplo, para cada grado de cierre de la válvula (caracterizado por el valor de k, que se extrae de las tablas correspondientes), obteniendo el caudal y, a partir de éste, la velocidad en cada caso.

1. Haga la deducción numérica con el método de las características para ecuaciones hiperbólicas y en diferencias finitas.

El método de las características consiste en convertir derivadas parciales en derivadas totales para así poder integrar. En esencia se basa en la resolución numérica, con las condiciones de borde impuestas por cada problema.

El método parte de las dos ecuaciones de Saint Venant introduciendo la siguiente definición para simplificar matemáticamente:

[pic 9]

[pic 10]

Primera ecuación de Saint Venant: conservación de la cantidad de movimiento

[pic 11]

Reemplazando:

[pic 12]

Multiplicando por la aceleración de la gravedad:

[pic 13]      🡪 Lo definimos como [pic 14]

Segunda ecuación de Saint Venant: conservación del caudal másico

[pic 15]

Multiplicando por :[pic 16]

[pic 17]

Y reemplazando:

[pic 18]

Considerando:

  [pic 19]              [pic 20]

La ecuación  se transforma en:

[pic 21]

Por ultimo dividimos por gama (aceleración de la gravedad multiplicada por la densidad del fluido):

[pic 22]       🡪 Lo definimos como [pic 23]

Estas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales ( y  ) no lineales en U y en H en función de l y t no responden a ninguna solución general, pero sí se pueden resolver aplicando el método de las características y adecuarlas a una solución en diferencias finitas en computadora.[pic 24][pic 25]

Las ecuaciones   y   contienen dos incógnitas: U y H. Además, estas ecuaciones pueden relacionarse a partir de un multiplicador desconocido:[pic 26][pic 27]

[pic 28]

Es decir, busco una L como combinación lineal para saber sin son integrables.

Para hallar esos valores de λ, calculamos L:

[pic 29]

Nota: Para llevarlo a una derivada total puedo integrar [pic 30](si va de x a dt 🡪 es TOTAL)

Al considerar que:

[pic 31]

Podemos deducir:

[pic 32]

Quedando:

[pic 33]

Y finalmente:                         

[pic 34]

Estos dos valores de λ reales y distintos, convierten a las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales en un par de ecuaciones diferenciales ordinarias, es decir:

...