Grafos

Criterios de la derivada de primer orden para máximos y mínimos:

Los relativos máximos o mínimos de la función pueden ser encontrados mediante la búsqueda de la primera derivada de la función.

Si la primera derivada resulta ser mayor que 1, en ese caso, se dice que la función está creciendo sobre el intervalo.

En el caso inverso, cuando la primera derivada resulta ser menor que 1, entonces se dice la que función es decreciente en ese intervalo.

Concavidades y puntos de inflexión:

El concepto de concavidad se utiliza para determinar si la gráfica de la función es de la forma cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo.

Si para los valores dados de intervalo, la doble derivada de la función es mayor o igual que 0, entonces el gráfico de la función será cóncavo hacia arriba, y cuando la doble derivada se convierte en menor que 0, entonces la forma de la gráfica será cóncava hacia abajo.

Ahí se encuentra una posición en la cual el gráfico de la función cambia su forma de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba o vice-versa.

Estas posiciones, o más bien los puntos, son conocidos como puntos de inflexión.

En estos puntos de inflexión, la doble derivada de la función se convierte en 0.

Criterios de la derivada de segundo orden para máximos y mínimos:

La segunda derivada también puede ser utilizada con el fin de encontrar el punto máximo o mínimo de la función.

1). Se dice que una función posee el máximo local en un punto específico, si, la doble derivada de la función en ese punto es menor que 0.

2). Se dice que una función posee mínimo local en un punto específico, si, la doble derivada de la función en ese punto es mayor que 0.

3). Cuando la doble derivada resulta ser 0, en ese caso, es posible que el punto sea un punto de inflexión.

Análisis De La Variación De La Función

Cuando la variación total de cualquier función particular es finita, en ese caso, esa función se conoce como Función de Variación Acotada, que puede ser abreviada como función BV (Bounded Variation por sus siglas en inglés). El gráfico correspondiente de la función BV se dice entonces que se comporta bien en un sentido preciso. La función BV tiene amplias aplicaciones en el campo de las matemáticas, y es utilizada en algunos de los teoremas más importantes, tal como son los Teoremas de Fourier. En el caso de la funciones continuas que contienen sólo una variable, la variación acotada implica la distancia finita cubierta por un punto a lo largo del eje y. Otra clasificación establece que las funciones de variación acotada, tienen la propiedad de intervalo cerrado, son las funciones que se pueden establecer como la diferencia entre dos monótonas acotadas.

La variación Acotada de una función determinada en el intervalo [x, y] puede ser establecida como

Donde S es el conjunto acotado

La variación resulta ser infinita si el conjunto no es acotado. El supremo de S puede ser llamado también como Variación Total o sólo la variación de f y se denota como V (f; x, y) o simplemente V (x).

Existen ciertos teoremas que pueden ser útiles para el análisis de la variación de la función:

1). Si en el conjunto [x, y], la función está incrementando, en ese caso, es la función de variación acotada en el conjunto [x, y] y consecuentemente V [g [x, y]] = g(y) – g(x).

2). Si en el conjunto [x, y] la función es constante, entonces es la función de variación acotada en el conjunto [x, y] y entonces V [g [x, y]] = 0.

Por ejemplo, la función g® = c es una función de variación acotada constante en el intervalo [x, y]. | g (ri) – g (ri - 1)| = 0 por cada partición del conjunto [a, b]. Por tanto, V (g, [x, y]) = 0.

3) En el conjunto [x, y] si, g y f son las funciones de variación acotada y c es constante, en ese caso

a). g es una función de variación acotada en el intervalo [x, y]. b). g es una función de variación acotada en cada subintervalo cerrado del intervalo [x, y]. c). cg es también una función BV en el conjunto [x, y]. d). g + f y g –f son BV en el conjunto

...