Teoria De Grafos

Índice:

1.- Introducción.

2.- Definición.

3.- Historia.

4.- Aristas – Vértices - Caminos

5.- Clasificación de grafos

6.- Grafos Eulerianos.

7.- Grafos Conexos

8.- Árboles.

9.- Bosques de árboles.

10.- Recorrido de un grafo.

11.- Representación de grafos en programas.

12.- Dígrafo (grafo dirigido).

13.- Aplicaciones de los dígrafos

14.- Grado de un grafo.

15.- Ciclo de un grafo.

16.- Estructuras no lineales: Grafos

17.- Anexo

Introducción:

La teoría de grafos juega uno de los papeles más importantes en la fundamentación matemática de las ciencias de la computación.

¿Por qué son tan importantes los grafos? Porque constituyen una herramienta básica para la comprensión y análisis de las estructuras de datos y algoritmos

Definición:

Son colecciones de objetos llamados nodos o vértices conectados por líneas llamadas aristas (o arcos) que pueden tener orientación. Comúnmente los grafos se representan a través de una serie de puntos unidos por líneas

Historia:

El trabajo realizado por Leonhard Eule en 1736 acerca del problema de los puentes de Königsberg es considerado el primer resultado de la teoría de grafos. También se considera uno de los primeros resultados topológicos en la geometría. Este estudio sentó las bases para establecer una relación directa entre la Teoría de Grafos y la Topología. A pesar de que este estudio fue sumamente relevante en los fundamentos de esta teoría, el verdadero nacimiento de los grafos se considera a partir del momento en el que Appel y Wolfgang Haken resolvieron el problema de los 4 colores de Francis Guthrie. Dicho problema consisitía en utilizar solamente 4 colores para colorear un mapa, la condición para la resolución del problema era que dos países vecinos no podían tener el mismo color. El “Problema de los 4 colores” fue planteado en 1852 pero fue resuelto casi 100 años después.

Aristas

Son las líneas con las que se unen las aristas de un grafo y con la que se construyen también caminos.

Si la arista carece de dirección se denota indistintamente {a, b} o {b, a}, siendo a y b los vértices que une.

Si {a ,b} es una arista, a los vértices a y b se les llama sus extremos.

• Aristas Adyacentes: Se dice que dos aristas son adyacentes si convergen en el mismo vértice.

• Aristas Paralelas: Se dice que dos aristas son paralelas si vértice inicial y el final son el mismo.

• Aristas Cíclicas: Arista que parte de un vértice para entrar en el mismo.

• Cruce: Son dos aristas que cruzan en un punto.

Vértices

Son los puntos o nodos con los que esta conformado un grafo. Llamaremos grado de un vértice al número de aristas de las que es extremo. Se dice que un vértice es `par' o `impar' según lo sea su grado.

• Vértices Adyacentes: si tenemos un par de vértices de un grafo (U, V) y si tenemos un arista que los une, entonces U y V son vértices adyacentes y se dice que U es el vértice inicial y V el vértice adyacente.

• Vértice Aislado: Es un vértice de grado cero.

• Vértice Terminal: Es un vértice de grado 1.

Caminos

Sean x, y " V, se dice que hay un camino en G de x a y si existe una sucesión finita no vacía de aristas {x,v1}, {v1,v2},..., {vn,y}. En este caso

• x e y se llaman los extremos del camino

• El número de aristas del camino se llama la longitud del camino.

• Si los vértices no se repiten el camino se dice propio o simple.

• Si hay un camino no simple entre 2 vértices, también habrá un camino simple entre ellos.

• Cuando los dos extremos de un camino son iguales, el camino se llama circuito o camino cerrado.

• Llamaremos ciclo a un circuito simple

• Un vértice a se dice accesible desde el vértice b si existe un camino entre ellos. Todo vértice es accesible respecto a si mismo

Clasificación de grafos

Los grafos se pueden clasificar en dos grupos: dirigidos y no dirigidos. En un grafo no dirigido el par de vértices que representa un arco no está ordenado. Por lo tanto, los pares (v1, v2) y (v2, v1) representan el mismo arco. En un grafo dirigido cada arco está representado por un par ordenado de vértices, de forma que y representan dos arcos diferentes.

Ejemplos

G1 = (V1, A1)

V1 = {1, 2, 3, 4} A1 = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}

G2 = (V2, A2)

V2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A2 = {(1, 2), (1, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 6)}

G3 = (V3, A3)

V3 = {1, 2, 3} A3 = { <1, 2>, <2, 1>, <2, 3> }

Gráficamente estas tres estructuras de vértices y arcos se pueden representar de la siguiente manera:

Algunos de los principales tipos de grafos son los que se muestran a continuación:

• Grafo regular: Aquel con el mismo grado en todos los vértices. Si ese grado es k lo llamaremos k-regular.

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Por ejemplo, el primero de los siguientes grafos es 3-regular, el segundo es 2-regular y el tercero no es regular

• Grafo bipartito: Es aquel con cuyos vértices pueden formarse dos conjuntos disjuntos de modo que no haya adyacencias entre vértices pertenecientes al mismo conjunto

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Ejemplo.- de los dos grafos siguientes el primero es bipartito y el segundo no lo es

• Grafo completo: Aquel con una arista entre cada par de vértices. Un grafo completo con n vértices se denota Kn.

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A continuación pueden verse los dibujos de K3, K4, K5 y K6

• Un grafo bipartito regular: se denota Km,n donde m, n es el grado de cada conjunto disjunto de vértices.

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A continuación ponemos los dibujos de K1,2, K3,3, y K2,5

Grafo nulo: Se dice que un grafo es nulo cuando los vértices que lo componen no están conectados, esto es, que son vértices aislados.

Grafos Isomorfos: Dos grafos son isomorfos cuando existe una correspondencia biunívoca (uno a uno), entre sus vértices de tal forma que dos de estos quedan unidos por una arista en común.

Grafos Platónicos: Son los Grafos formados por los vértices y aristas de los cinco sólidos regulares (Sólidos Platónicos), a saber, el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.

Grafos Eulerianos.

Para definir un camino euleriano es importante definir un camino euleriano primero. Un camino euleriano se define de la manera más sencilla como un camino que contiene todos los arcos del grafo.

Teniendo esto definido podemos hablar de los grafos eulerianos describiéndolos

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