Unidad 6 Teoria De Grafos

Unidad 6 Teoría de grafos

6.1 Elementos y Características de los Grafos

Un grafo, G, es un par ordenado de V y A, donde V es el conjunto de vértices o nodos del grafo y A es un conjunto de pares de vértices, a estos también se les llama arcos o ejes del grafo. Un vértice puede tener 0 o más aristas, pero toda arista debe unir exactamente a dos vértices. Los grafos representan conjuntos de objetos que no tienen restricción de relación entre ellos. Un grafo puede representar varias cosas de la realidad cotidiana, tales como mapas de carreteras, vías férreas, circuitos eléctricos, etc. La notación

G = A (V, A)

Se utiliza comúnmente para identificar un grafo. Los grafos se constituyen principalmente de dos partes: las aristas, vértices y los caminos que pueda contener el mismo grafo.

6.1.1.- componentes de un grafo (vértices, aristas, lazos, valencia)

Aristas.- son las líneas con las que se unen las aristas de un grafo y con la que se construyen también caminos.

• Aristas adyacentes: se dice que dos aristas son adyacentes si coinciden en el mismo vértice.

• Aristas paralelas: se dice que dos aristas son paralelas si vértice inicial y el final son el mismo

• Aristas cíclicas: arista que parte de un vértice para entrar en el mismo.

Vértices.- Son los puntos o nodos con los que está conformado un grafo.

Llamaremos grado de un vértice al número de aristas de las que es extremo. Se dice que un vértice es `par' o `impar' según lo sea su grado.

• Vértices Adyacentes: si tenemos un par de vértices de un grafo (U, V) y si tenemos un arista que los une, entonces U y V son vértices adyacentes y se dice que U es el vértice inicial y V el vértice adyacente.

• Vértice Aislado: Es un vértice de grado cero.

• Vértice Terminal: Es un vértice de grado 1

Lazo: es una arista cuyos extremos inciden sobre el mismo vértice

Valencia de un vértice.- Es el numero de lados que salen o entran a un vértice. En el grafo anterior las valencias de los vértices son:

Valencia (a)=2

Valencia (b)=4

Valencia (c)=2

Valencia (d)=3

Hay que observar como en el caso del vértice del lazo solo se considera una vez, entrada o salida pero no ambos.

6.1.2.- tipos de grafos (simples, completos, bipartidos, planos, conexos, ponderados)

Grafos simples.- Un grafo es simple si a lo más existe una arista uniendo dos vértices cualesquiera. Esto es equivalente a decir que una arista cualquiera es la única que une dos vértices específicos. Un grafo que no es simple se denomina multígrafo.

Grafo completo.- Un grafo es completo si existen aristas uniendo todos los pares posibles de vértices. Es decir, todo par de vértices (a, b) debe tener una arista e que los une. El conjunto de los grafos completos es denominado usualmente K, siendo Kn el grafo completo de n vértices. Un Kn, es decir, grafo completo de n vértices tiene exactamente n(n-1)/2 aristas.

La representación gráfica de los como los vértices de un polígono regular da cuenta de su peculiar estructura.

Grafos bipartidos.- Un grafo G es bipartido si puede expresarse como G = {V1 U V2, A} (es decir, sus vértices son la unión de dos grupos de vértices), bajo las siguientes condiciones:

• V1 y V2 son disjuntos y no vacíos.

• Cada arista de A une un vértice de V1 con uno de V2.

• No existen aristas uniendo dos elementos de V1; análogamente para V2.

Bajo estas condiciones, el grafo se considera bipartito, y puede describirse informalmente como el grafo que une o relaciona dos conjuntos de elementos diferentes, como aquellos resultantes de los ejercicios y puzles en los que debe unirse un elemento de la columna A con un elemento de la columna B.

Grafos Planos.- Un grafo G es planar si admite una representación en el plano de tal forma que las aristas no se cortan, salvo en sus extremos. A dicha representación se le denomina grafo plano. Se dice que un grafo es plano si puede dibujarse en el plano de manera que ningún par de sus aristas se corte. A ese dibujo se le llama representación plana del grafo.

Grafo conexo.- Un grafo se dice que es conexo si cada par de sus vértices están conectados. Es decir,

G es conexo ⇐⇒ ∀u, v : ∃µ = [u, v]

En caso contrario, diremos que G es un grafo desconexo.

Grafos ponderados.- Llamamos grafos ponderados a los grafos en los que se asigna un numero a cada una de las aristas. Este número representa un peso para el recorrido a través de la arista. Este peso podrá indicar, por ejemplo, la distancia, el costo monetario o el tiempo invertido, entre otros.

Definimos la longitud de un camino en un grafo ponderado como la suma delos pesos de las aristas de ese camino.

6.2.- representación de los grafos

Definición.- Dado un grafo G = (V, E) con n vértices {v1, ..., vn} su matriz de adyacencia es la matriz de orden n×n, A(G)=(aij) donde aij es el número de aristas que unen los vértices vi y vj.

La matriz de adyacencia de un grafo es simétrica. Si un vértice es aislado entonces la correspondiente fila (columna) esta compuesta sólo por ceros. Si el grafo es simple entonces la matriz de adyacencia contiene solo ceros y unos (matriz binaria) y la diagonal esta compuesta sólo por ceros.

6.2.1.- matemática

6.2.2.- computacional

Existen dos formas de mantener un grafo “G” en la memoria de una computadora, una se llama Representación secuencial de G, la cual se basa en la matriz de adyacencia A; la

...