INTEGRAL.

Una serie aritmética, o suma compleja, es la suma de una sucesión de términos. Por ejemplo, una serie interesante que aparece en muchos problemas en ciencia, ingeniería, y matemática es la serie geométrica r + r^2 + r^3 + r^4 + ... donde ... indica que la serie continúa indefinidamente.

Una manera común de estudiar una serie particular (siguiendo a Cauchy) es definir una secuencia que consiste en la suma de los primeros n términos.

Por ejemplo, para estudiar la serie geométrica podemos considerar la secuencia que suma los primeros n términos:

S_n(r) = \sum_{i=1}^{n} r^i.

Por lo general, estudiando la secuencia de sumas parciales podemos entender el comportamiento de la serie infinita entera.

Dos de las cuestiones más importantes sobre una serie son

Converge?

Si es así, a dónde?

Por ejemplo, es fácil ver que para r > 1 , la serie geométrica S_n(r) no converge a un número finito (es decir, diverge a infinito). Para ver esto, notemos que cada vez que aumentamos el número de términos en la serie S_n(r) aumenta. Quizás un hecho más sorprendente e interesante es que para |r|< 1 , S_n(r) converge a un valor finito.

Específicamente, es posible demostrar que

\lim_{n \rightarrow \infty} S_n(r) = \frac{r}{1-r}.

De hecho, consideremos la cantidad:

(1-r)S_n(r) = (1-r)\sum_{i=1}^{n} r^n = \sum_{i=1}^{n} r^n - \sum_{i=2}^{n+1} r^n = r - r^{n+1}

Puesto que r^{n+1}\to 0 cuando n\to \infty para |r| < 1, esto demuestra que (1-r)S_n(r)\to r cuando n\to \infty. La cantidad 1-r es diferente a cero y no depende de n así que podemos dividir por ella y llegar a la fórmula que deseamos.

Nos gustaría poder obtener conclusiones similares sobre cualquier serie.

Desafortunadamente, no hay un modo simple de sumar una serie. Lo más que podremos hacer en la mayoría de los casos es determinar si converge. Las series geométricas y telescópicas son los únicos tipos de series en las cuales se puede encontrar fácilmente la suma.

Convergencia

Es obvio que para que una serie converja, los an deben tender a cero, pero esto no es suficiente. Consideremos la serie armónica, la suma de 1/n, y agrupemos los términos

\begin{matrix} \sum_1^{2^m} \frac{1}{n} &= 1+ \frac{1}{2}+ & \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+ & +\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+ & \ldots & + \sum_{1+2^{n-1}}^{2^n} \frac{1}{p} \\ & > \frac{3}{2}+ & \frac{1}{4}2+ & \frac{1}{8}4+ & \ldots & + \frac{1}{2^n}2^{n-1} \\ & = \frac{3}{2}+ & \frac{1}{2} + & \frac{1}{2} + & \ldots & + \frac{1}{2} \quad (m \mbox{ terms}) \end{matrix}

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