Integral.

Un agricultor desea conocer la superficie aproximada de un prado limitado por una carretera, dos caminos perpendiculares a ella y la ribera de un río, de manera que si colocamos unos ejes cartesianos sobre la carretera (eje OX) y uno de los caminos (eje OY, abscisa x = 0), el segundo camino será la recta vertical x = 2 (unidades en cientos de metros). Se toman varias medidas desde la carretera hasta la ribera, obteniéndose las siguientes coordenadas para los puntos de la ribera: (0, 1.5), (0.5, 1.8), (1, 2.1), (1.5, 1.75), (2, 1.3). Calcular aproximadamente el área de dicho terreno utilizando las reglas de los trapecios y de Simpson. Determinar el área si extendemos el terreno hasta la abscisa x = 2.5 sabiendo que el río en tal caso pasa por el punto (2.5, 1.1).

En este caso desconocemos la función de forma explícita, teniendo en cuenta tan solo los valores de la tabla que nos han sido facilitados. Se tiene:

De modo que usando el método de los trapecios podemos escribir

I1 ≈ h/2 [f(x0) + 2 (f(x1) + f(x2) + f(x3)) + f(x4)]

≈ 0.5/2 [1.5 + 2(1.8 + 2.1 + 1.75) + 1.3]

≈ 3.4333

Mientras que si usamos el método de Simpson se llega a

I2 ≈ h/3 [f(x0) + 4 (f(x1) + f(x3)) + 2 (f(x2)) + f(x4)]

≈ 0.5/3 [1.5 + 4(1.8 + 1.75) + 2(2.1) + 1.3]

≈ 3.5333

Si se añade un nuevo punto, la tabla será:

Ahora la regla de los trapecios proporcionará:

I ≈ h/2 [f(x0) + 2 (f(x1) + f(x2) + f(x3) + f(x4)) + f(x5)]

≈ 0.5/2 [1.5 + 2(1.8 + 2.1 + 1.75 + 1.3) + 1.1]

≈ 4.125

Mientras que si el método de Simpson no es aplicable de forma directa dado que estamos considerando un número impar de subintervalos en este caso. Lo que podemos hacer es considerar el Método de Simpson para los 4 subintervalos primeros y estimar la integral en el quinto subintervalo mediante el método de los Trapecios. Así queda

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