La Integral

LA INTEGRAL

En el numeral pasado, hemos definido la derivada de una función, en este definiremos el contrario de la derivada: la integral.

Esta operación nace como consecuencia de responder la siguiente pregunta: si se conoce la velocidad de una partícula para un tiempo determinado ¿ podemos conocer la ley de movimiento de tal partícula?

La respuesta no es fácil de contestar, esta respuesta nos lleva a crear una nueva disciplina que en apariencia no tiene nada que ver con la derivada, esta disciplina es el cálculo integral. De hecho, el cálculo diferencial y el cálculo integral fueron considerados distintos hasta que surgió un teorema que además de unir estas disciplinas las exhibe como contrarias, tal teorema es el teorema fundamental del cálculo; de este teorema hablaremos con más detalle posteriormente. En este momento, nos propondremos construir la integral de una función.

Supongamos que es la función velocidad de una partícula. Esta función nos da la velocidad de una partícula en movimiento para cada instante Por ejemplo, consideremos la función . Si deseamos conocer la velocidad de una partícula en un instante , lo único que debemos hacer es cambiar la por el 2. Es decir Esto significa que en el segundo , la partícula en movimiento llevará una velocidad de . La gráfica de esta función es una línea recta (ver figura 11). Noten que ahora representamos al eje de las velocidades ``eje v'', como un eje perpendicular al eje del tiempo .

Figura 11:

Si la velocidad de una partícula es constante--digamos que tiene un valor --el desplazamiento de esta partícula está dado por . Para este caso, la función velocidad está dada por cuya gráfica se muestra en la figura 12. Esta gráfica es una recta paralela al eje t a una altura de este eje. Los movimientos que tienen como función velocidad se llaman movimientos rectilíneos uniformes.

Figura 12:

Pero geométricamente (abstracto), ¿qué representa el desplazamiento en la gráfica de la función velocidad ? Tomemos el intervalo de tiempo desde , que representa el instante en el que inició el movimiento hasta el tiempo , para esta función de velocidad, el desplazamiento de la partícula en este instante es , esto es el área comprendida entre el eje t y la línea . Lo que ocurre así porque tenemos un rectángulo con base de longitud y altura igual a y el área de los rectángulos se obtiene multiplicando la base por la altura (véase figura 13).

Figura 13:

Debe notarse que nuevamente hemos planteado un problema concreto en uno geométrico--es decir en un problema abstracto--el cual resolveremos y lo interpretaremos concretamente.

¿Cómo resolvemos este mismo problema para una función arbitraria ? Por lo anterior podemos deducir que el área bajo la gráfica sobre el eje determina el desplazamiento (ver figura 14).

Figura 14:

Ahora el problema original se ha convertido en el siguiente problema: Dada la gráfica de la función , encontrar el área encerrada entre su gráfica y el eje en el intervalo de tiempo desde hasta .

Para resolver este problema utilizaremos el siguiente método.

Hagamos una partición del intervalo de tiempo de a (ver figura 15).

Figura 15:

Formemos rectángulos cuyas bases sean las particiones del intervalo y alturas correspondientes a la altura mínima de la gráfica en la partición del intervalo. (ver figura 16).

Figura 16:

La suma de las áreas de todos estos rectángulos es aproximadamente el área total bajo la gráfica de la curva.

Para fijar ideas usaremos una partición con cinco elementos . La base del rectángulo uno está dada por la longitud entre el 0 y el punto , por lo tanto, la base del primer rectángulo es , de manera análoga, sabemos que la longitud de la base del segundo rectángulo es , de este modo las longitudes de las bases del tercer y cuarto rectángulo son y respectivamente.

Aquí podemos ver otra ley de la dialéctica, un elemento de la partición forma el primer punto de un rectángulo, pero se convierte en su contrario en el rectángulo del otro lado, ya que en éste, es el último punto de la base. Para encontrar la altura de tales rectángulos, tenemos que tomar un punto en el interior de la base, de tal modo que la altura que corresponde a ese punto, sea menor que la altura de cualquier otro punto de la base de tal rectángulo. En nuestro caso, los puntos , corresponden con los mismos puntos de la partición, o sea, Entonces la altura del primer rectángulo es , la del rectángulo dos es , la del rectángulo tres y el del cuatro . Por lo tanto, el área del primer rectángulo es , el área del segundo rectángulo es y la de los rectángulos tres y cuatro son y , respectivamente. Por lo tanto, la suma de las áreas de los cuatro rectángulos es . Denotaremos las bases de la siguiente manera: , , , .De este modo obtendremos que . Esta suma de áreas de ractángulos la denotaremos del siguiente modo . El símbolo es una letra del alfabeto griego que se llama sigma, en matemáticas

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