CALCULO INTEGRAL

APROXIMACIONES LINEALES

y-y1=m(x-x1)

m=f’(x1)=f’(0)

x1=c

y1=f(c)

y-f(c)=f’(c)(x-c)

y=f(c)+f’(c)(x-c) << Ecuación de la recta tangente

Se le llama aproximación por medio de una recta tangente o aproximación lineal.

Ejemplo

1.-f(x)=x² En el punto (1,1)

x1=1=c

y=f(1)+f’(1)(x-1) << Sustituir c

y=1+2(x-1) Nota: el 2 se obtiene de la derivada de la funciòn original f(x)=x2 y la f’(x)=2x pero està evaluada en 1 entonces 2(1)=2

y=1+2x-2

y=2x-1

Para tabular debemos tomar valores cercanos (decimales) al punto dado.

x 0.5 0.75 0.9 1 1.01 1.025 1.5

f(x)=x² 0.25 0.5625 0.81 1 1.020 1.0506 2.25

y=2x-1 0 0.5 0.8 1 1.02 1.05 2.00

2.-f(x)=1+senx En el punto (0,1)

y=f(c)+f’(c)(x-c)

y-f(c)?f’(c)(x-c)

y-f(0)=f’(0)(x-0) Sustituir c

y-1=(1)(x-0) Despejar y

y=1+1(x-0)

y=1+x+0=1+x

f(x)=1+senx

f’(x)=0+senx

f’(x)=0+cosx

f’(x)=cosx

x -0.5 -0.1 -0.01 0 0.01 0.1 0.5

f(x)=1+senx 0.521 0.9002 0.9900002 1 1.0099998 1.0998 1.479

y=1+x 0.5 0.9 0.99 1 1.01 1.1 1.5

3.-f(x)=x² En el punto (2,4)

y-f(c)=f’(c)(x-c)

y=f(c)+f’(c)(x-c)

y=f(2)+f’(2)(x-2) Sustituir c

y=4+4(x-2)

y=4+4x-8 Eliminar parèntesis

y=4x-4

x 1.9 1.99 2 2.01

f(x)=x² 3.61 3.96 4 4.04

y=4x-4 3.6 3.96 4 4.04

DEFINICIÓN DE DIFERENCIAL Y SU INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

EJERCICIOS

En los siguientes ejercicios, utilizar la información para evaluar y comparar y y dy.

y=1/2 x^3 x=2 x=dx=0.1

DATOS SOLUCIÓN

f(x)= 1/2 x^3

f´(x)= 3/2 x^2

x=2 x=dx=0.1 dy=f´(x)dx y=f(x+x)-f(x)

dy=3/2 x^2 dx

dy=3/2 (2)^2 (0.1)

dy=6(0.1)=0.6 y=1/2 (2+0.1)^3-1/2 (2)^3

y=1/2 (9.261)-4

y=4.635-4=0.6305

y=2x^2-1 x=0 x=dx=-0.1

DATOS SOLUCIÓN

f(x)= 〖2x〗^2-1

f´(x)= 4x

x=0

x=dx=-0.1 dy=f´(x)dx y=f(x+x)-f(x)

dy=4x dx

dy=4(0)(-0.1)

dy=0 y=[2〖(0+(-0.1))〗^2-1]-[2(0)^2-1]

y=-0.98 +1

y=0.02

y=x^4+1

...