Calculo Integral

CALCULO INTEGRAL

TRABAJO COLABORATIVO 3

Presentado por:

JIMMY ANDREY PARRA HERNÁNDEZ

COD: 93.405.253

SERGIO SILVA OLAYA

COD: 93.138.638

Presentado al Tutor:

Javier Ernesto Rodríguez Hernández

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD

PROGRAMA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

IBAGUÉ

2012

INTRODUCCIÓN

Cálculo, rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los incrementos en las variables, pendientes de curvas, valores máximo y mínimo de funciones y de la determinación de longitudes, áreas y volúmenes. Su uso es muy extenso, sobre todo en ciencias e ingeniería, siempre que haya cantidades que varíen de forma continua.

El Cálculo Integral, es una rama de las matemáticas que tiene proceso la integración o anti derivación, es muy común en la Ingeniería y en la matemática en general; se utiliza para cálculos de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

TRABAJO COLABOARATIVO 3

1. Usar las fracciones parciales para encontrar la integral.

a. ∫▒〖1/(x^2-1) dx〗

x^2-1

(x-1)(x+1)

∫▒1/(x-1)(x+1)

1/(x-1)(x+1) =A/((x-1) )+B/((x+1) )

mcm=(x-1)(x+1)

(x-1)(x+1)/((x-1) )=A(x+1)

(x-1)(x+1)/((x+1) )=B(x-1)

1/(x-1)(x+1) =(A(x+1)+B(x-1))/(x-1)(x+1)

(x-1)(x+1)/(x-1)(x+1) =A(x+1)+B(x-1)

1=A(x+1)+B(x-1)

1=Ax+1A+Bx-1B

Ax+Bx=x(A+B)=0

1A-1B=1

A+B=0 1ra ecuación

A-B=1 2da ecuación

2A =1 A=1/2

Sustituimos A en B

B=-1/2

∫▒1/(x-1)(x+1) dx=A/((x-1) )+B/((x+1) )

∫▒〖(1/2)/((x-1) )-(1/2)/((x+1) )〗

1/2 ∫▒〖dx/(x-1)-〗 1/2 ∫▒dx/(x+1)

1/2 ln⁡|x-1|-1/2 ln⁡|x+1|+c

1/2 ln⁡|(x-1)/(x+1)|+c

b. ∫▒〖1/(〖4x〗^2-9 ) dx〗

4X^2-9=(2X+3)(2X-3)

mcm= (2X+3)(2X-3)

1/(〖4x〗^2-9 )=A/(2x+3)+B/(2x-3)

1/((2x+3)(2x-3))=A/(2x+3)+B/(2x-3)

1/((2x+3)(2x-3))= (A(2X-3)+ B(2X+3))/((2X+3)(2X-3))

1=A(2X-3)+B(2X+3)

1=2AX-3A+2BX+3B

1=X(2A+2B)+(-3A+3B)

2A+2B=0 Multiplicamos x3 6A+6B=0

-3A+ 3B=1 Multiplicamos x2 -6A+6B=2

12B=2

B=2/12 , B = 1/6

2A+2(1/6)=0

2A+(1/3)=0

A=-1/6

∫▒〖1/(〖4x〗^2-9 ) dx = ∫▒(A/(2x+3)+B/(2x-3)) 〗 = ∫▒〖((-1/6)/(((2x+3))/1)+(1/6)/(((2x-3))/1))dx 〗

= -1/6 ∫▒〖dx/(2x+3)+1/6 ∫▒dx/(2x-3)〗

u=2x+3 ; du=2dx ; du/2=dx , p=2x-3 ; dp=2dx ; dp/2=dx

1/6 ∫▒(du/2)/u+1/6 ∫▒(dp/2)/p

-1/12 ∫▒du/u+1/12 ∫▒dp/p

-1/12 ln⁡|p|+1/12 ln|u|+c

-1/12 ln⁡|2x-3|+1/12 ln|2x+3|+c

1/12 ln|((2x-3))/((2x+3))|+c

c. ∫▒〖3/(x^2+x-2) dx〗

∫▒3/(x+2)(x-1) dx

3∫▒1/(x+2)(x-1) dx

1/(x+2)(x-1) =A/((x+2) )+B/((x-1) )

1=A(x-1)+ B(x+2)

1=Ax-A+BX+2B

1=X(A+B)+2B-A

A+ B=0 ; (1)

-A+2B=1 ; (2)

A+ B=0 ; (1) Sumamos 1 y 2

-A+2B=1 ; (2)

0 + 3B=1 B= 1/3

A+ 1/3 =0 A= - 1/3

∫▒〖3/(x^2+x-2) dx〗 = 3∫▒(A/(x+2)+B/(x-1))dx

3∫▒((-1/3)/(x+2)+ (1/3)/(x-1))dx

3(-1/3) ∫▒dx/(X+2)+3(1/3) ∫▒dx/(X-1)

-ln⁡|x+2|+1ln⁡|x-1|+c

ln⁡|(x-1)/(x+2)|+c

d. ∫▒〖(x+1)/(x^2+4x+3) dx〗

∫▒(x+1)/((x+3)(x+1)) dx = ∫▒〖1/((x+3)) dx〗

ln|x+3|+c

e. ∫▒〖(5-x)/(〖2x〗^2+x-1) dx〗

(5-x)/(〖2x〗^2+x-1)=(5-x)/((x+1)(2x-1))=A/(x+1)+B/(2x-1)=(A(2x-1)+B(x+1))/(x+1)(2x-1)

5-x=A(2x-1)+B(x+1)=2Ax-A+Bx+B=(2A+B)x+(B-A)

(1) 2A+B=-1

(2) B-A=5

B=5+A

3 en 1 2A+5+A=-1→3A=-6→A=-6/3→A=-2

De 1 B=-1-2(-2)→B=-1+4→B=3

∫▒〖(5-x)/(〖2x〗^2+x-1) dx=∫▒(-2/(x+1)+3/(2x-1)) 〗 dx=-2∫▒〖1/(x+1) dx+3∫▒〖1/(2x-1) dx〗〗

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