Calculo Integral

SUCESIONES

¿Qué es una sucesión?

En matemáticas las sucesiones tiene un sentido parecido al lenguaje usual

Son una serie(o colección) de datos , objetos o eventos ordenados.

Matemáticamente una sucesión se define como una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos. .

• Las sucesiones aunque son funciones son denotadas por subíndices.

• Los números a1 hasta an son llamados TERMINOS de la sucesión.

• El número a sub n es el TERMINO N-ESIMO

• Las sucesiones completas finalmente se denotan como {an}.

¡Nota! De vez en cuando es necesario empezar la sucesión con el termino a0.

EJEMPLO:

an = 1/n

a1 = 1 ,a2 =1/2 ,…

LIMITE DE UNA SUCESION.

• Las sucesiones cuyos términos tienden a valores limites , son llamadas convergentes.

• Por ejemplo : {1/2n} ½ , ¼ …

Consideremos a la siguiente sucesión an = 1/n .

a1= 1

a1= 1/2

a1= 1/3

nos damos cuenta que a medida que aumenta n ,los términos d ela sucesión son mas cercanos a 0. Si representamos los términos como puntos en una línea, esto significa que los puntos an se apiñan cada vez mas cerca del punto 0 conforme n crece.

Se dice que an tiende a 0, o que tiene limite 0.

DEFINICION DEL LIMITE DE UNA SUCESION.

Sea L un número real. El límite de una sucesión {an} es L .

Lim an = L

n→∞

ɏ ξ>0 existe N natural ɏ n>N

si para cada ξ > 0 , por pequeño que este sea podemos encontrar un numero N>0 lo suficientemente grande tal que apartir del índice N en adelante se tiene que l an – L l < ξ. Si el límite de una L de una sucesión existe quiere decir que converge. En caso contrario es divergente.

Teorema: LIMITE DE UNA SUCESION.

Sea L un numero real. Sea ƒ una funcionde una variable real tal que

Lim ƒ (x)= L

x→∞

si {an} es una sucesión tal que ƒ(n) = an para cada entero positivo n, entonces

Lim an = L

n→∞

Teorema :PROPIEDADES DE LOS LIMITES DE SUCESIONES.

Sea el Lim an = L y Lim bn = k

n→∞ n→∞

en este caso aplican las mismas operaciones normales que en los limites.

Teorema: DEL ENCAJE O DEL EMPAREDADO PARA SUCESIONES.

Si Lim an = L = Lim bn

n→∞ n→∞

y existe un numero N tal que an≤cn≤bn para todo n>N, entonces

Lim cn = L

n→∞

SUCESIONES MONÓTONAS Y SUCESIONES ACOTADAS.

DEFINICIÓN DE UNA SUCESIÓN MONÓTONA

Una sucesión {an} es monótona si sus términos no son decrecientes

a1≤ a2≤ a3≤ a4≤ a5≤ a6≤… ≤an≤…

o si sus términos no son crecientes

a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ a4 ≥… ≥ an ≥…

DEFINICION DE UNA SUCESION ACOTADA.

M es cota superior de la sucesión an si an < M para todo n.(cota superior)

m es cota inferior de la sucesión an si an >m para todo n.(cota inferior)

una sucesión es acotada si tiene tanto cota superior como inferior.

Teorema

Toda sucesión monótona y acotada converge.

H) an monótona

Existen m y M / m < an < M para todo n.

T) lim an = b

Demostración:

Queremos probar que existe N / para todo n > N |an - b| < ε.

Supongamos que an es creciente (si suponemos que es decreciente, la demostración es análoga).

an < M para todo n

Es decir que el conjunto de todos los términos de la sucesión S = {a1, a2, a3, ...} tiene extremo superior (la menor de las cotas superiores), llamémosle b.

Sea ε>0

b - ε no es cota superior de S pues es menor que el extremo superior

=> existe N / aN > b-ε.

an es creciente => para todo n > N an >= aN => an > b-ε => -(an - b) < ε (1)

b+ε también es cota superior de S

=> para todo n an < (b+ε) => => an - b < ε (2)

=> De 1) y 2) para todo n > N |an - b| < ε

Teorema

Toda sucesión convergente es acotada.

H) an convergente

T) an acotada

Demostración:

an es convergente, eso significa que tiene límite finito: lim an = a

=> (por def. de límite finito de una sucesión) para todo ε>0 existe N / para todo n > N a-ε < an < a+ε

=> (por def. de sucesión acotada) an está acotada.

Nota: El recíproco no es cierto. Que una sucesión esté acotada no implica que sea convergente.

Contraejemplo: an = (-1)n está acotada pero no es convergente.

-1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, ...

SERIES INFINITAS.

"Sucesiones" y "series" pueden parecer la misma cosa... pero en realidad una serie es la suma de una sucesión.

Sucesión: {1,2,3,4}

Serie: 1+2+3+4 = 10

Las series se suelen escribir con el símbolo Σ que significa "súmalos todos"

CLASIFICACION DE UNA SERIE.

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