Investigación acerca de los valores propios y vectores propios de una matriz

[pic 1]

[pic 2]

Valores Propios y Vectores Propios Andrade Vera Melanie

Flores Pérez Abraham Campoverde Arrobo Joel

Bodniza Quimís Nohely

Universidad Estatal de Milagro, Ecuador

Enero 14 de 2021

Notas del Autor

Andrade Vera Melanie; Flores Pérez Abraham; Campoverde Arrobo Joel; Bodniza Quimís Nohely

Facultad de Ciencias de la Ingeniería, Universidad Estatal de Milagro, Ecuador

afloresp3@unemi.edu.ec mandradev8@unemi.edu.ec jcampoverdea3@unemi.edu.ec nbodnizaq@unemi.edu.ec

INDICE

Contenido

INTRODUCCIÓN        1

CONCEPTOS        2

VECTORES PROPIOS        2

VALORES PROPIOS        2

POLINOMNIO CARACTERISTICO        2

Procedimiento        3

Valores Propios        3

Vectores propios        4

EJERCICIOS        5

Ejercicio 1        5

Ejercicio 2        8

Conclusión        13

Bibliografía        13

INTRODUCCIÓN

En la posición actual, discutiremos auto valores y auto vectores. Luego, dada la matriz A L (Rn), queremos encontrar el C de C, donde x Cn x = 0, lo que hace que Ax = x, donde x es el valor propio y x es el vector propio asociado con el valor propio. Dado que el valor propio de la matriz es también la raíz de su polinomio característico p () = det (A-I), el problema se puede simplificar para calcular el cero del polinomio mediante cualquier método encontrado. Este tipo de resolución solo se utilizará en matrices muy simples

• Un método puramente iterativo, mediante el uso repetido del mismo tipo de transformación en la matriz inicial, se puede obtener una secuencia y se pueden calcular uno o más valores propios basados en la secuencia. El más famoso es el método de la potencia, que nos permite encontrar diferentes valores propios de una matriz.
• A partir de la factorización de la matriz A de cierta manera, se obtienen de manera iterativa una serie de matrices con los mismos auto valores, y estas matrices convergen en una matriz triangular superior. Como veremos, estos algoritmos no se aplican directamente a la matriz inicial, sino que previamente convirtieron la matriz a una forma simplificada.

El cálculo de auto valores y auto vectores aparece en ciertos problemas mecánicos, vibraciones estructurales y optimización e investigación sobre la estabilidad de otros métodos numéricos iterativos.

1

CONCEPTOS

VECTORES PROPIOS

Dicho con palabras de David C. (2006), un vector propio autovector es un conjunto de elementos que, al multiplicarlo por cualquier constante, es igual al producto de la matriz original por un conjunto de elementos.

Por lo tanto, tenemos claro que el vector propio de una matriz cuadrada es cualquier vector que satisfaga cualquier expresión constante.

VALORES PROPIOS

El valor propio según David C. (2006) es la raíz real que encontramos a través del valor propio (la raíz de la solución es el número real). Cabe señalar que lo mismo ocurre con los valores propios con tantas filas (m) o columnas (n) como la matriz original. Tiene vectores infinitos porque se pueden usar números reales infinitos como parte de cada vector de características.

Existe una correlación lineal entre el vector y el autovalor, porque el autovalor se multiplica por el autovector

POLINOMNIO CARACTERISTICO

Para cada matriz A de orden m, tenemos det (A-λI) que es un polinomio de grado m, llamado polinomio característico de A, expresado por pA (λ).

Hay que tener en cuenta que la ecuación det (A-λI) = 0 se le denomina ecuación característica de A. La relación entre las entradas de la matriz y los coeficientes del polinomio característico es muy complicada. Sin embargo, algunos de los coeficientes de este polinomio son bien conocidos: coeficiente principal, siguiente coeficiente y término independiente.

Procedimiento

Valores Propios

Procedimiento para obtener los valores propios de una matriz:

𝐴(𝑥) = 𝜆𝑥

Sacamos factor común:

𝐴(𝑥) − 𝜆𝑥 = 0

𝑥(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0

Para que de 0 el determinante dentro del paréntesis debe dar 0

|𝐴 − 𝜆𝐼| = 0

Imaginemos una matriz A de 2x2:

(𝑎11        𝑎12) − (𝜆        0

= (𝑎11 − 𝜆        𝑎12        )

𝑎21        𝑎22        0        𝜆)

𝑎21        𝑎22 − 𝜆

Luego sacamos el determinante:

𝑎11 − 𝜆        𝑎12

|        𝑎21        𝑎22 − 𝜆

|=((𝑎11

− 𝜆)(𝑎22

− 𝜆) − (𝑎12

)(𝑎21)

Al operar nos quedara un Polinomio Característico de la forma:

𝑎𝜆2 + 𝑏𝜆 + 𝑐 = 0

Como es una matriz de 2x2 el grado será de dos pero el grado depende del tamaño de la matriz

Factorizamos:

(𝜆 + 𝑥)(𝜆 + 𝑦) = 0

Despejamos y obtenemos los valores propios:

...