Unidad 6 Valores Y Vectores Característicos

Unidad 6 Valores y Vectores Característicos

6.1 Definición Valores Vectores Característicos Matriz Cuadrada

En álgebra lineal, los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar recibe el nombre valor propio, autovalor, valor característico o eigenvalor. A menudo, una transformación queda completamente determinada por sus vectores propios y valores propios. Un espacio propio, autoespacio o eigenespacio es el conjunto de vectores propios con un valor propio común.

Las transformaciones lineales del espacio—como la rotación, la reflexión, el ensanchamiento, o cualquier combinación de las anteriores; en esta lista podrían incluirse otras transformaciones—pueden interpretarse mediante el efecto que producen en los vectores. Los vectores pueden visualizarse como flechas de una cierta longitud apuntando en una dirección y sentido determinados.

• Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores que, o no se ven afectados por la transformación o se ven multiplicados por un escalar que no varía su dirección.

• El valor propio de un vector propio es el factor de escala por el que ha sido multiplicado.

• Un espacio propio es un espacio formado por todos los vectores propios del mismo valor propio, además del vector nulo, que no es un vector propio.

• La multiplicidad geométrica de un valor propio es la dimensión del espacio propio asociado.

• El espectro de una transformación en espacios vectoriales finitos es el conjunto de todos sus valores propios.

Por ejemplo, un vector propio de una rotación en tres dimensiones es un vector situado en el eje de rotación sobre el cual se realiza la rotación. El valor propio correspondiente es 1 y el espacio propio contiene a todos los vectores paralelos al eje. Como es un espacio de una dimensión, su multiplicidad geométrica es uno. Es el único valor propio del espectro (de esta rotación) que es un número real.

Formalmente, se definen los vectores propios y valores propios de la siguiente manera: Si A: V ! V es un operador lineal en un cierto espacio vectorial V, v es un vector diferente de cero en V y c es un escalar (posiblemente cero) tales que

entonces decimos que v es un vector propio del operador A, y su valor propio asociado es c. Observe que si v es un vector propio con el valor propio c entonces cualquier múltiplo diferente de cero de v es también un vector propio con el valor propio c. De hecho, todos los vectores propios con el valor propio asociado c junto con 0, forman un subespacio de V, el espacio propio para el valor propio c

POLINOMIO Y ECUACIÓN CARACTERÍSTICA.

1.3 Determinación de los valores y vectores característicos de una matriz cuadrada

Si se quiere calcular los valores propios de una matriz dada y ésta es pequeña, se puede calcular simbólicamente usando el polinomio característico. Sin embargo, a menudo resulta imposible para matrices extensas, caso en el que se debe usar un método numérico.

Cálculo simbólico

Encontrando valores propios

Una herramienta importante para encontrar valores propios de matrices cuadradas es el polinomio característico: decir que es un valor propio de A es equivalente a decir que el sistema de ecuaciones lineales (A - I) v = 0 (donde I es la matriz identidad) tiene una solución no nula v (un vector propio), y de esta forma es equivalente al determinante:

La función p() = det(A - I) es un polinomio de pues los determinante se definen como sumas de productos. Éste es el polinomio característico de A: los valores propios de una matriz son los ceros de su polinomio característico.

Todos los valores propios de una matriz A pueden calcularse resolviendo la ecuación pA( ) = 0.

Si A es una matriz n×n, entonces pA tiene grado n y A tiene al menos n valores propios.

El teorema fundamental del álgebra dice que esta ecuación tiene exactamente n raíces (ceros), teniendo en cuenta su multiplicidad. Todos los polinomios reales de grado impar tienen un número real como raíz, así que para n impar toda matriz real tiene al menos valor propio real. En el caso de las matrices reales, para n par e impar, los valores propios no reales son pares conjugados.

Encontrando vectores propios

Una vez que se conocen los valores propios , los vectores propios se pueden hallar resolviendo:

Un ejemplo de matriz sin valores propios reales es la rotación de 90 grados en el sentido de las manecillas del reloj:

cuyo polinomio característico es 2 + 1 y sus valores propios son el par de conjugados complejos i, -i. Los vectores propios asociados tampoco son reales.

Ejemplo

Considérese la matriz

que representa un operador lineal R³ ! R³. Si se desea computar todos los valores propios de A, se podría empezar determinando el polinomio característico:

y porque p(x) = - (x - 2)(x - 1)(x + 1) se ve que los valores propios de A son 2, 1 y -1. El teorema de Cayley-Hamilton establece que cada matriz cuadrada satisface su propio polinomio característico.

Efectivamente, para el caso del valor propio 2, se puede comprobar que

1.4 Diagonalización de matrices, potencias y raíces de matrices

¿Qué es diagonalizar una matriz?

Para estudiar una matriz suele ser conveniente expresarla de forma lo más sencilla posible. Diagonalizar una matriz A es precisamente eso: escribirla de manera simple encontrando una matriz invertible P y una diagonal D (si se puede) tales que

A = P D P-1

La matriz P se llama matriz de paso.

Puede que esto, al principio, no parezca más simple de lo que ya era A directamente. Sin embargo, lo es desde muchos puntos de vista. Dado que las matrices suelen usarse para representar aplicaciones lineales, la expresión anterior puede verse como un cambio de base de la aplicación representada por A; entonces, esta forma de escribirlo dice: hay una base en la que la aplicación lineal A tiene una forma muy simple (diagonal). Esto es útil, por ejemplo, para clasificar una aplicación lineal y estudiar sus propiedades. Las matrices se usan para representar otras cosas como cónicas, cuadricas o formas bilineales, y en estos casos también resulta útil esta forma de expresarlas.

La relación anterior entre las matrices A y D es importante y aparece en muchos contextos, así que tiene nombre propio:

Cuando dos matrices cuadradas A y B verifican que A = P B P-1 para cierta, matriz cuadrada

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