Valores Y Vectores Característicos

Valores y Vectores Característicos

• Definición

Sea una A matriz cuadrada n x n con componentes reales o complejas, el número λ se denomina valor propio o valor característico de A si existe un vector V diferente de cero o tal que AV = λV. El vector V diferente de cero se denomina vector propio o vector característico de A correspondiente al valor propio de A.

Los valores propios y vectores propios se conocen también como eigenvalores y eigenvectores. Estos valores y vectores propios se utilizan generalmente en sistemas lineales de ecuaciones homogéneas que representan problemas de ingeniería.

El cálculo de los valores propios y de los vectores propios de una matriz simétrica tiene gran importancia en las matemáticas y en la ingeniería, entre los que cabe destacar, el problema de la diagonalización de una matriz, el cálculo de los momentos de inercia y de los ejes principales de inercia de un sólido rígido, o de las frecuencias propias de oscilación de un sistema oscilante.

Propiedades:

• El escalar λ es valor propio de A si existe v ≠ 0 tal que Av = λv.

• El vector v es vector propio de A asociado a λ si Av = λv.

• El escalar λ es valor propio de A si y solo si det(A - λI) = 0.

• El vector v es vector propio de A asociado a λ si (A - λI)v = 0.

Procedimiento para calcular valores propios y vectores propios:

1. Se encuentra A-λI

2. Se encuentra det (A-λI)

3. Se encuentra P(λ)= det (A-λI) = 0

4. Se determinan las raíces λ1, λ2, λ3… λm por método algebráico.

5. Se encuentran los vectores característicos para cada una de las λ del paso anterior. Utilizando (A- λI) V=0 sale un sistema de ecuaciones homogéneas y se procede a determinar la forma de los vectores.

• Polinomio característico

Si A es una matriz cuadrada n x n entonces λ es un valor propio de A si y solo si:

P(λ)= det (A-λI) = 0

En otras palabras, todo valor propio λ debe ser raíz del polinomio característico asociado a A.

Esta ecuación se denomina ecuación característica de A.

Observaciones:

1. det(A- λI) es un polinomio cuyo grado coincide con el tamaño de la matriz A; sea n. Se llama polinomio característico. Como mucho tienen raíces distintas.

2. A un valor propio le corresponden una infinidad de vectores propios. En otras palabras: si λ es valor propio, el sistema (A - λI)v = 0 tiene siempre infinitas soluciones.

• Método FADDEEV-LEVERRIER

Este método constituye una técnica eficiente para generar los coeficientes del polinomio característico, tanto, cuando la matriz A de los coeficientes es simétrica, como cuando no lo es.

Tiene la ventaja adicional de que se obtiene automáticamente,

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