El hallazgo de valores y la dirección del vector

1 consideremos un vector Z definido por la ecuación z= z_1 z_2 siendo z_1=a+bj y z_2=c+dj

Demostrar que la longitud de Z es igual al producto de las longitudes de z_1 〖 y z〗_2

Rta/ z=(a+bj)+(c+dj)

z=(ac-cd)+(ad+bc)j

|z|=√((ac-cd)^2+(ad+bc)^2 )

|z|=√(a^2 c^2-2abcd+b^2 d^2+a^2 d^2+2abcd+b^2 c^2 )

|z|=√(a^2 c^2+b^2 d^2+a^2 d^2+b^2 c^2 )

z_1=a+bj y z_2=c+dj

|z_1 |=√(a^2+b^2 ) |z_2 |=√(c^2+d^2 )

|z_1 ||z_2 |=(√(a^2+b^2 ))(√(c^2+d^2 ))

|z_1 ||z_2 |=√((a^2+b^2 )^2 〖(c^2+d^2)〗^2 )

|z_1 ||z_2 |=√(a^2 c^2+b^2 d^2+a^2 d^2+b^2 c^2 ) =z

Demostrar que el ángulo comprendido entre los ejes Z y X es la suma de los ángulos que forman por separados z_1 〖 y z〗_2 con X

z_1=a+bj y z_2=c+dj

z_1=r_1 (cos⁡θ+sin⁡θ j) z_2=r_2 (cos⁡∅+sin⁡∅ j)

z=r_1 (cos⁡θ+sin⁡θ j)r_2 (cos⁡∅+sin⁡∅ j)

z=r_1 r_2 [(cos⁡θ cos⁡∅-sin⁡θ sin⁡∅ )+(cos⁡θ sin⁡∅+cos⁡〖∅sin⁡θ)j]〗

cos(θ+∅) ∧ sin(θ+∅)

z=r_1 r_2 [cos(θ+∅)+sin(θ+∅)j]

2. consideremos un vector Z definido por la ecuación z= z_1 〖/z〗_2 donde (z_2 ≠0), siendo z_1=a+bj y z_2=c+dj

a) Demostrar que la longitud de Z es igual al cociente de las longitudes de z_1 〖 y z〗_2

Rta/ z= z_1 〖/z〗_2

|z|= √(a^2+b^2 )/√(c^2+d^(2 ) )= √((a^2+b^2)/(c^2+d^(2 ) ))

z_1/z_2 = (a+bj)/(c+dj)* (c-dj)/(c-dj)

z_1/z_2 =((ac+bd)+(cbj-adj))/(c^2+d^2 )

|z_1/z_2 |= √((〖(ac+bd)〗^2+〖(cb-ad)〗^2)/〖(c^2+d^2)〗^2 )

|z_1/z_2 |= √((a^2 c^2-2abcd+b^2 d^2+a^2 d^2+2abcd+b^2 c^2)/〖(c^2+d^2)〗^2 )

|z_1/z_2 |= √((a^2 c^2+b^2 d^2+a^2 d^2+b^2 c^2)/〖(c^2+d^2)〗^2 )

|z_1/z_2 |= √((〖(a^2+b^2)〗^2 〖(c^2+d^2)〗^2)/〖(c^2+d^2)〗^2 )

|z_1/z_2 |= √((a^2+b^2)/(c^2+d^2 ))=|z|

b) Demostrar que el ángulo comprendido entre los ejes Z y X es la diferencia de los ángulos que forman por separados z_1 〖 y z〗_2 con X

Rta/ z_1=a+bj y z_2=c+dj

z_1=r_1 (cos⁡θ+sin⁡θ j) z_2=r_2 (cos⁡∅+sin⁡∅ j)

z=(r_1 (cos⁡θ+sin⁡θ j) )/(r_2 (cos⁡∅+sin⁡∅ j) )

z=(r_1 (cos⁡θ+sin⁡θ j) )/(r_2 (cos⁡〖∅〖+sin〗⁡∅ j〗) )* ((cos⁡∅-sin⁡∅ j) )/((cos⁡〖∅〖-sin〗⁡∅ 〗 j) )

Cos (∅-θ) sin (∅-θ)

z=r_1/r_2 ((cos⁡θ cos⁡∅+sin⁡θ sin⁡∅ j+(-cos⁡〖θ sin⁡∅ j+sin⁡θ 〗 cos⁡∅) )/(〖cos⁡∅〗^2+〖sin⁡∅〗^2 ))

1

z=r_1/r_2 (cos⁡(∅-θ)+ sin (∅-θ) j)

3) Demostrar que la multiplicación de cualquier numero complejo Z por ℮^jθ puede describirse en términos geométricos como una rotación positiva en el ángulo θ del vector representado por Z sin alteración de su longitud.

Rta/ z=r(cos⁡∅+sin⁡∅ )

℮^jθ=(cos⁡θ+jsin⁡θ )

z*℮^jθ=r(cos⁡∅+sin⁡∅ )(cos⁡θ+jsin⁡θ )

z*℮^jθ=r(cos⁡〖∅cos⁡θ-sin⁡∅ 〗 sin⁡θ+(sin⁡〖∅cos⁡θ j+sin⁡〖θ cos⁡∅ j〗 〗 ))

z*℮^jθ=r(cos(θ+∅)+sin(θ+∅))

4) a) si 〖z=A℮〗^jθ , deducir que dz=jzdθ y expresar y explicar el significado de esta relación en un diagrama vectorial

Rta/ 〖z=A℮〗^jθ

dz=jA℮^jθ dθ →dz=jzdθ

jA℮^jθ dθ 〖A℮〗^jθ=z

θ+〖90〗^o

θ

Ambos vectores poseen el mismo radio, se puede decir que tiene la misma amplitud los dos vectores pero la diferencia entre ambos es su ángulo y que el primero lo multiplicamos por J al derivar rotamos el vector 〖90〗^o pero sigue siendo el mismo vector, conserva su magnitud.

Hallar los valores y direcciones de los vectores (2+j√3)y (2-j√3)^2

Rta/ (2-j√3)^2=[(4-3)+j(2(2)(-√3))]

(2-j√3)^2=(1-j4√3) 2

(2-j√3)^2=(1-√48) 2+j√3

2

√1u

√1u

√1u (2-j√3)^2

√1u

√1u

z_1= (2+j√3) Posee una diferencia positiva en el cuadrante 1, con una

|z_1 |= √((2)^2-(√3)^2 )= √(4+3) Magnitud de √7 unidades

z_2= (2-j√3)^2

|z_2 |= √(1+(4√3)^2 )= √(1+48)= √49=7

El vector está ubicado en el IV cuadrante el cual tiene una componente en x positiva “parte real” y una componente en Y negativa “parte imaginaria” y una magnitud de 7unidades.

5) para tomar las derivadas sucesivas de ℮^jθ respecto ha θ, basta multiplicar por J

d/dθ (A℮^jθ )= JA℮^jθ

Demuestre que esta propiedad sigue siendo válida si se utiliza la representación sinusoidal ℮^jθ= cos⁡θ+J sin⁡θ

A(cos⁡θ+J sin⁡θ )=A℮^jθ Derivamos

A(-sin⁡θ+J cos⁡θ )=A℮^jθ Sacamos factor común J

AJ((-sin⁡θ)/J+cos⁡θ )=JA℮^jθ

AJ(J/J*(-sin⁡θ)/J+cos⁡θ )=JA℮^jθ

AJ(cos⁡〖θ+sinθJ〗 )=JA℮^jθ → = JA℮^jθ

℮^jθ

6) dada la relación

...