Valores Y Vectores Característicos

6.1 Definición de Valores y Vectores Característicos de una Matriz Cuadrada

Sea A una matriz de n X n. El número real λ es un Valor Propio (también conocidos como, valores característicos, auto valores o incluso cigenvalores) de A si existe un vector x distinto de cero en R^n tal que

Ax= λx

Todo vector x distinto de cero que satisfaga (1) es un vector propio de A, asociado con el valor propio λ. Los valores también se llaman valores característicos, auto valores, valores latentes o eigenvalores (del alemán eigen que significa “propio”). De manera similar, los vectores propios también se llaman vectores característicos, auto vectores, vectores latentes o eigenvectores.

Observe que x=0 siempre satisface (1), pero 0 no es un vector propio, pues, como hemos insistido, un vector propio debe ser un vector no nulo. En la definición anterior, el número λ puede ser real o complejo, y el vector x puede tener componentes reales o complejos.

6.2 Polinomio y Ecuación Característica

Sea A=[a_ij ] una matriz de n x n. El determinante

f(λ)=det⁡〖(〖λI〗_n 〗-A)=|■(λ-a_11& -a_12&⋮@-a_21& λ-a_22&⋮@⋮&⋮&⋮)¦■( -a_n1& -a_n2& ⋮) ■( ■(-a_1n@-a_2n@⋮)@ λ-a_nn )|

Es el polinomio característico de A. La ecuación:

f(λ)=det⁡〖(〖λI〗_n 〗-A)=0

Es la Ecuación Característica de A.

Ejemplo:

Sea

A=[■(1&2&-1@1&0&1@4&-4&5)]

El polinomio característico de A es (Verificar)

f(λ)=det⁡〖(〖λI〗_3 〗-A)= |■(λ-1&-2&1@-1&λ-0&-1@-4&4&λ-5)|=λ^3-〖6λ〗^2+11λ-6

En el desarrollo de un determinante de una matriz de n x n, cada término es un producto de n elementos de la matriz, el cual tiene exactamente un elemento de cada fila (reglón) y un elemento de cada columna. En consecuencia, si desarrollamos f(λ)=det⁡〖(〖λI〗_3 〗-A), obtenemos un polinomio de grado n. Un polinomio de grado n con coeficientes reales tiene n raíces (contando las repeticiones), algunas de las cuales pueden ser números complejos. La expresión relacionada con λ^n en el polinomio característicos de A proviene del producto

(λ-a_11 )(λ-a_22 )…(λ-a_nn)

De modo que el coeficiente de λ^n es 1. Entonces podemos escribir

f(λ)=det⁡〖(〖λI〗_n 〗-A)=λ^n+c_1 λ^(n-1)+c_2 λ^(n-2)+⋯+c_(n-1) λ+c_n

Si hacemos λ=0 en det⁡〖(〖λI〗_n 〗-A), al igual que en la expresión de la derecha, obtenemos det(-A)=C_n, lo cual muestra que el termino constante C_n es 〖(-1)〗^n det(A). Con este resultado se establece el siguiente teorema

Teorema: Una matriz A de n x n es singular si y solo si es un valor propio de A.

6.3 Determinación de los Valores y Vectores Característicos

Sea

A=[■(0&□(1/2)@□(1/2)&0)]

Entonces

A=[■(1@1)]=[■(0&□(1/2)@□(1/2)&0)][█(1@@1)]=[█(□(1/2)@□(1/2))]= 1/2 [█(1@@1)]

De modo que

x_1=[■(1@1)]

Es un vector propio de A asociado al valor propio λ_1=1/2. Ademas

A=[■(1@-1)]=[■(0&□(1/2)@□(1/2)&0)][█(1@@-1)]=[█(□(-1/2)@□(1/2))]= -1/2 [█(1@@-1)]

De modo que

x_2=[■(1@-1)]

Es un vector propio de A asociado al valor propio λ_2=-1/2.

6.4 Diagonalizacion de Matrices, Potencias y Raíces de Matrices

Se dice que una matriz B es semejante o similar a una matriz A, si existe una matriz no singular P talque

B=P^(-1) AP

Sea

A=[■(1&1@-2&4)]

Donde

P=[■(1&1@1&2)]

Entonces

P^(-1)=[■(2&-1@-1&1)]

Y

B=P^(-1) AP=[■(2&-1@-1&1)][■(1&1@-2&4)][■(1&1@1&2)]=[■(2&0@0&3)]

En consecuencia B es semejante a A

Se dice que la matriz A es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal. En este caso, también decimos que A puede diagonalizarse. Si A y B son como el ejemplo anterior, A es diagonalizable, ya que es semejante a B.

6.5 Diagonalizacion de Matrices Simétricas, Diagonalizacion Ortogonal

En esta sección analizaremos la diagonalizacion de las matrices simétricas (una matriz de n x n con entradas reales tales que A = A^T). Restringiremos nuestro análisis a este caso, debido a que es más fácil de resolver que el caso general, y a que las matrices simétricas se presentan en muchos problemas de aplicación.

Teorema 8.6: Todas las raíces del polinomio característico de una matriz simétrica son números reales

Teorema 8.7: Si A es una matriz simétrica, los vectores propios correspondientes

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