Valores Y Vectores Propios

6. VALORES Y VECTORES PROPIOS

6.1. INTRODUCCIÓN.

En álgebra lineal, los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar ? recibe el nombre valor propio, autovalor, valor característico o eigenvalor. A menudo, una transformación queda completamente determinada por sus vectores propios y valores propios.

Un espacio propio, autoespacio o eigenespacio es el conjunto de vectores propios con un valor propio común.

La palabra alemana eigen, que se traduce en español como propio, se usó por primera vez en este contexto por David Hilbert en 1904 (aunque Helmholtz la usó previamente con un significado parecido). Eigen se ha traducido también como inherente, característico o el prefijo auto-, donde se aprecia el énfasis en la importancia de los valores propios para definir la naturaleza única de una determinada transformación lineal. Las denominaciones vector y valor característicos también se utilizan habitualmente.

6.2. POLINOMIOS DE MATRICES

Consideremos una matriz n-cuadrada arbitraria:

La matriz (A - •In), donde In es la matriz identidad n-cuadrada y  un escalar indeterminado, se denomina matriz característica de A:

Su determinante, det (A - •In) , que es un polinomio en , recibe el nombre de polinomio característico de A. Asimismo, llamamos a

det (A - •In) = 0

ecuación característica de A.

Ejemplo:

Hallar la matriz característica y el polinomio característico de la matriz A:

La matriz característica será (A - •In). Luego:

y el polinomio característico,

Así pues, el polinomio característico es  2 -  + 4.

6.3. VALORES PROPIOS Y VECTORES PROPIOS

Si es un operador lineal en un espacio vectorial V de dimensión n y si A es la matriz referida a alguna base ordenada de V, entonces los valores propios de T son las raíces de la ecuación . Esta es una ecuación polinómica de la forma

donde las bi i = 1, 2, ..., n son números reales. Debemos recordar que toda ecuación polinómica de grado n con coeficientes reales tiene n o menos raíces complejas, contando las raíces repetidas. Las raíces complejas no reales aparecen en pares conjugados.

Si la matriz satisface la hipótesis del teorema 2.2, entonces si y sólo si . Por esta razón definimos lo valores propios y vectores propios de una matriz.

NOTA: En adelante asumiremos el conjunto de números complejos (C) como escalares.

DEFINICIÓN 2.2

Si A es una matriz , un vector columna v Î cn, , se llama vector propio (vector característico) de A si y sólo si para algún escalar , (real o complejo). se llama valor propio (valor característico) de A que corresponde al vector v y decimos que vpertenece al valor propio .

La prueba del siguiente teorema se deja como ejercicio al lector.

TEOREMA 2.3 Sea A una matriz columna no nula.

i. Es un vector propio de A perteneciente a si y sólo si .

ii. Un escalar es un valor propio de A si y sólo si es una raíz de la ecuación polinómica .

OBSERVACIÓN: Como se verá (en el ejemplo 2.6) una matriz con componentes reales puede tener valores propios complejos. Por eso la definición asegura que .

Ejemplo 2.5 Encuentre los valores y vectores característicos de la matriz

Determine si A es semejante a una matriz diagonal D; en caso afirmativo, encuentre P y tales que .

Solución.

Los valores característicos son las raíces de la ecuación

Entonces, los valores propios son 3 y 1. Para determinar los vectores característicos pertenecientes a

La solución general sería de la forma

Los vectores propios correspondientes a , están en el espacio

excluyendo el vector nulo.

Determinemos los vectores propios correspondientes a

Entonces los vectores propios son los vectores no nulos del espacio

Ahora, sea una base de vectores propios de A para R3, entonces A es semejante a una matriz diagonal. La matriz para el cambio de base de B2 a B1 es:

Además, , , por tanto la matriz de cambio de base de B1 a es

=

De donde

Observemos que si es un operador lineal sobre R3 definido por , entonces la matriz T referida a la base natural es A. La matriz de T referida a la base B2 de vectores propios es la matriz diagonal D.

Ejemplo 2.6 Encuentre los valores propios de la matriz

Solución.

Los valores propios son las raíces de la ecuación

Determinemos los vectores propios correspondientes a

La solución general será de la forma

De donde son los vectores propios correspondientes a .

De igual forma para , resolviendo

.

Entonces la solución es de la forma de donde son los vectores propios correspondientes a .

TEOREMA 2.4 Sea V un espacio vectorial de dimensión n y un operador lineal definido sobre V. Si A y B son dos representaciones matriciales T, entonces A y B tienen el mismo polinomio característico.

PRUEBA: Suponga que A y B son matrices y que B1 y B2 son bases ordenadas para V tal que y . Entonces , donde P es la matriz para el cambio de base de B2 a B1.

Entonces

de donde

DEFINICIÓN 2.3 El polinomio característico de un operador lineal sobre un espacio vectorial V de dimensión n es el polinomio característico de cualquiera de las representaciones matriciales de T.

OBSERVACIÓN: Si A y B son matrices semejantes, la prueba del anterior teorema muestra que tienen el mismo polinomio característico. El recíproco no es cierto.

Ejemplo 2.7 Muestre que y tienen el mismo polinomio característico, pero que A no es semejante a B.

Solución.

Entonces, A y B tienen el mismo polinomio característico.

Para cualquier matriz no singular P, . Por tanto B no es semejante a A.

OBSERVACIÓN: Un operador lineal puede no tener una representación matricial que sea diagonal, es decir, una matriz pede no ser semejante a una matriz

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