IMPORTANCIA DE VALORES Y VECTORES PROPIOS

UNIVERSIDAD ESTATAL DE MILAGRO

FACULTAD CIENCIAS DE LA INGENIERIA

SEMESTRE DE CARRERA

2S 2019

INGENIERIA AMBIENTAL[pic 1]

INTEGRANTES:

JULIO JUAN MUÑOZ FARFAN

DIEGO FERNANDO  YANCE NOBOA      

CURSO:

INGENIERIA AMBIENTAL

PROFESOR:

ING. ALBERTO ANDRES LEON BATALLAS

ASIGNATURA:

ALGEBRA LINEAL

Índice

INTRODUCCION        3

DESARROLLO.        3

1.1 Definición de valores propios.        3

1.2 Definición de vectores propios.        4

IMPORTANCIA DE VALORES Y VECTORES PROPIOS.        5

2.1 Polinomio característico.        6

EJERCICIOS DE APLICACIÓN        8

Bibliografía        12

INTRODUCCION

Dentro de esta investigación, vamos a ver y aclarar distintos puntos sobre lo que son los valores y vectores propios, también veremos sobre la definición del polinomio característico, además de ver claros ejemplos de cómo se aplica cada regla y dejar bien en claro los procedimientos que se tienen que realizar para los distintos casos de ejercicios que se puedan presentar.

“Conocido el valor propio λ, tenemos un sistema de ecuaciones homogéneo de 4 ecuaciones con 4 incógnitas. Le damos a x1 el valor arbitrario de 1 y lo convertimos en el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas”. (Valle, 2011)

DESARROLLO.

1.1 Definición de valores propios.

Se denominan valores propios o raíces características de una matriz cuadrada A, a los valores de λ tales que.

[pic 2]

Desarrollando el determinante tenemos un polinomio de grado n en λ. Trataremos de encontrar los coeficientes del polinomio y luego, aplicaremos un método de hallar las raíces del polinomio.

Una vez hallados los valores propios, para hallar el vector propio X correspondiente al valor propio λ es necesario resolver el sistema homogéneo

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Donde el vector X es X={x1,x2,...xn}X={x1,x2,...xn} Siempre podemos tomar x1 como 1, y hallar las otras n-1 incógnitas. De las n ecuaciones podemos tomar n-1, y resolver el sistema lineal.

[pic 4]

1.2 Definición de vectores propios.

Conocidos los valores propios de una matriz simétrica A, se pueden calcular el vector propio X correspondiente a cada valor propio λ.

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Mediante el siguiente procedimiento. Supongamos una matriz simétrica A de dimensión 4.

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Conocido el valor propio λ, tenemos un sistema de ecuaciones homogéneo de 4 ecuaciones con 4 incógnitas. Le damos a x1 el valor arbitrario de 1 y lo convertimos en el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas

[pic 7]

IMPORTANCIA DE VALORES Y VECTORES PROPIOS.

El saber calcular “valores propios” y “vectores propios” de una matriz, es de mucha importancia ya sea en el área de las matemáticas, ciencias o ingeniería, “entre los que cabe destacar, el problema de la diagonalización de una matriz, el cálculo de los momentos de inercia y de los ejes principales de inercia de un sólido rígido, o de las frecuencias propias de oscilación de un sistema oscilante”. (García, 2016).

Dada una matriz cuadrada A de orden 3 se dice que el número λ0 es un valor propio de A si existe un vector columna tridimensional c no nulo t.q

Ac = λ0 c

El vector c se llama vector propio de A asociado al valor propio λ0.

Existen metodologías tanto para hallar como calcular vectores propios:

• Por definición, un vector propio c debe ser un vector columna distinto de

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Por definición, un vector propio c debe ser un vector columna distinto de

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Esta ecuación es equivalente a λ0 I3c = Ac, siendo I3 la matriz unidad de orden 3:

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El vector c = 0 satisface λ 0 = A0 cualquiera que sea el número λ. Esta situación no interesa, pues cualquier número sería valor propio de A.

La ecuación:

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Es equivalente:

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Si c ha de ser distinto de cero, entonces necesariamente el determinante

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tiene que ser igual a 0. Una posible manera de hallar el λ0 que buscamos es construir el polinomio en λ

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El polinomio p(λ) en la variable λ es de grado 3 y se llama el polinomio característico de A.

Debemos resolver la ecuación en la incógnita λ

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A continuación, si λ0 es una raíz de esta ecuación, se resuelve el sistema homogéneo indeterminado

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En las incógnitas c1, c2, c3. Una solución  de (3) con no todas las componentes c1, c2, c3 nulas, proporciona uno de los vectores buscados.[pic 17]

2.1 Polinomio característico.

Dada una matriz cuadrada A de dimensión n. El polinomio característico de la matriz es

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Los coeficientes se hallan mediante las siguientes relaciones:

[pic 19]

Los valores s1, s2, ... sn son las trazas de las potencias de la matriz cuadrada A.

...