Transformaciones lineales, valores y vectores propios

Definición

En matemáticas una aplicación lineal es una aplicación entre dos espacios vectoriales, que preserva las operaciones de adición de vectores y multiplicación por un escalar.

En álgebra abstracta y en álgebra lineal una aplicación lineal es un homomorfismo entre espacios vectoriales o en el lenguaje de la teoría de categorías un morfismo sobre la categoría de los espacios vectoriales sobre un cuerpo dado.

[pic 1]

Se denomina aplicación lineal, función lineal o transformación lineal a toda aplicación cuyo dominio y co-dominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición:

Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K. Una aplicación T de V en W es una transformación lineal si para todo par de vectores u, v є V y para todo escalar k є K se satisface que:

• T(u+v)=T(u)+T(v)
• T(ku)=kT(u)

Conocimientos previos

Tres observaciones sobre notación

1. Se escribe T: V → W para indicar que T toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial real W; esto es, T es una función con V como su dominio y un subconjunto de W como su imagen.

2. Se escriben indistintamente Tv y T(v). Denotan lo mismo; las dos se leen “T de v”. Esto es análogo a la notación funcional f(x), que se lee “f de x”.

3. Gran parte de las definiciones y teoremas en este capítulo también se cumplen para los espacios vectoriales complejos (espacios vectoriales en donde los escalares son números complejos). Sin embargo, sólo se manejarán espacios vectoriales reales y, por lo tanto, se eliminará la palabra “real” en el análisis de los espacios vectoriales y las transformaciones lineales

Ejercicios para identificar si una transformación es lineal o no

Ejemplo 1.

 Sea  la función definida por  entonces para  y para todo escalar ,[pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

Y

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

Por tanto  es una transformación lineal.[pic 12]

Ejemplo 2.

 De manera análoga al ejemplo procedente, toda línea recta que pasa por el origen es una transformación lineal de  En efecto, una línea recta que pasa por el origen es la gráfica de una función de la forma  donde  es una constante. Entonces, si  es un escalar, se tiene [pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

Y

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

Como ya se dijo toda transformación lineal de  en  es una línea recta que pasa por el origen. Son las únicas transformaciones lineales que existen de  en ,  como en el siguiente ejemplo.[pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

Ejemplo 3.

 (Transformaciones lineales de  en ) sea  una transformación lineal. Sea , entonces  entonces  Es decir,  es una línea recta que pasa por el origen.[pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33]

Ejemplo 4.

 (La transformación derivación) Si de  y , definida por de  Asi, por ejemplo si   y   es una transformación lineal. En efecto:[pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39]

1. [pic 40]
2. .[pic 41]

Ejemplo 5.

 Sea de   definida como . Mostrar que  es lineal.[pic 42][pic 43][pic 44][pic 45]

1. Si [pic 46]

[pic 47]

[pic 48]

[pic 49]

[pic 50]

)[pic 51]

[pic 52]

1. Si y [pic 53][pic 54]

[pic 55]

[pic 56]

[pic 57]

[pic 58]

[pic 59]

[pic 60]

Ejemplo 6.

 Sea  , definida por  no es lineal:[pic 61][pic 62][pic 63]

[pic 64]

[pic 65]

[pic 66]

[pic 67]

Por lo que [pic 68]

Aplicación

Se utilizan en muchas áreas de las matemáticas, en este caso son útiles, preservan la estructura matemática de un espacio vectorial. En el área de la biomédica presentaremos los siguientes ejemplos:

• Transformaciones en gráficas computacionales

• Estudia la creación y manipulación de imágenes, por ejemplo:

• Imágenes de resonancia magnética [pic 69]
• Imágenes de ultrasonidos en 4D[pic 70]

• Manipulación de moléculas para biomateriales.

• Mejora la resistencia en cuanto a visualizar las estructuras de los materiales en las prótesis (dentales o de extremidades). Dependiendo de su uso se pueden ser flexibles o rígidos, entre los materiales más utilizados destacan:

• Nylon (Flexible)
• Silicona (Flexible)
• Vinilo (Flexible)
• Titanio (Rígido)
• Polipropileno (Rígido)
• Polietileno (Rígido)
• Etileno (Rígido)

[pic 71]

[pic 72]

[pic 73]

[pic 74]

Efectos geométricos de transformaciones lineales

Ejemplo: problema…

Determinar el efecto geométrico que produce:

A) al realizar un giro de 90º

B) efectuar una expansión horizontal, considerando 3 unidades

...