Transformaciones Lineales

Transformaciones lineales

Las propiedades generales y los tipos especiales de transformaciones lineales, se introduce la estructura del núcleo y de la imagen de una transformación lineal y se estudia la relación entre sus dimensiones, al fijar una base en cada espacio se determina la matriz asociada a una transformación lineal y fijamente se trata de los espacios vectoriales de las transformaciones lineales y el espacio dual de un espacio vectorial.

Definición:

Consideremos dos espacios vectoriales V y W sobre el cuerpo K, a la función T:V → W, llamaremos una transformación lineal u homomorfismo si y solo si cumple con las siguientes condiciones.

T(x+y)=T(x)+T(y),∀x,y ∈V

Es decir: que la imagen de la suma de dos vectores de V es igual a la suma de sus imágenes en W.

T(λx)= λT(x),∀ x∈V,λ∈K

Es decir: que la imagen del producto de cualquier escalar por todo vector de V es igual al producto del escalar por la imagen de dicho vector en W.

Matriz Asociada a una transformación lineal

Interpretación geométrica:

Sea T; V→W, una transformación lineal.

V T W

Teorema:

Sean(V, +K) y (W + k) dos espacios vectoriales, la función T:V→W es una transformación lineal si solo si T(αx+βy)=αT(x)+βT(y),∀α,β∈k y ∀x,y ∈V

Suponiendo que T: V → W es una transformación lineal entonces (i), (ii) son válidos; como V en un espacio vectorial => αx, βy ϵ V, ∀ α,β ∈k y ∀x,y ∈V

Entonces αx+ βy ∈V ahora por la parte (i) se tiene: T(αx+βy)=T(αx)+T(βy)y por la parte (ii) se tiene:

Clasificación de las transformaciones lineales:

Sean (V+K), (W+k) dos espacios vectoriales y f: V→ W una transformación lineal es decir que se cumple (i) y (ii) en esta definición f no tiene ninguna condición salvo que solamente sea una función por lo tanto los siguientes conceptos:

f es un monomorfismo ↔ f es inyectiva

f es un epimorfismo ↔ f es sobreyectiva

f es ismorfismo ↔ f es biyectiva

si V = W, entonces la transformación lineal f se llama endomorfismo y si esta es biyectiva entonces recibe el nombre de automorfismo, es decir un automorfismo es toda transformación lineal de un espacio vectorial en sí mismo.

Ejemplo: si f: R2 → R2 es una aplicación definida por f(x,y)=(x + y, x - y) ¿f es un automorfismo?

Solución:

Para que f sea un automorfismo debemos probar que f sea una transformación lineal biyectiva.

f es una transformación lineal:

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