TRANSFORMACIONES LINEALES

TRANSFORMACIÓN LINEAL

Así como cuando se estudian las funciones reales interesan especialmente las funciones continuas, cuando se estudian funciones de un espacio vectorial en otro interesan aquellas que poseen ciertas propiedades especiales, por ejemplo las que conservan operaciones. Es decir, que la función sea tal que "conserve" las dos operaciones fundamentales que definen la estructura de espacio vectorial.

En síntesis, podemos dar la siguiente definición:

Una función T: V ® W (de un espacio vectorial V en un espacio vectorial W)

se dice una transformación lineal si, para todo a, b Î V,

k Î K (K es el cuerpo de escalares) se tiene:

T (a + b) = T (a) + T (b)

T (k a) = k T (a)

Que se puede resumir en T (a a + b b) = a T (a) + b T (b), llamada propiedad de linealidad.

Si T: V ® W es una transformación lineal, el espacio V se llama dominio de T y el espacio W se llama codominio de T.

Ejemplo.

A partir de la definición, analicemos si es lineal la siguiente transformación:

T: R2 ® R3 / " x Î R2 : T ((x1, x2)) = (x1 + x2, x1 - x2, x2)

Se deben verificar las dos condiciones de la definición:

a) ¿ " x, y Î R2 : T (x + y) = T (x) + T (y) ?

x = (x1, x2)

y = (y1, y2)

x + y = (x1 + y1, x2 + y2)

T (x + y) = T (x1 + y1, x2 + y2) = (x1 + y1 + x2 + y2, x1 + y1 - x2 - y2, x2 + y2) =

= (x1 + x2, x1 - x2, x2) + (y1 + y2, y1 - y2, y2) = T (x) + T (y)

b) ¿ " x Î R2, " k Î R : T (k x) = k T (x) ?

T (k x) = T (k (x1, x2)) = T (k x1, k x2) = (k x1 + k x2, k x1 - k x2, k x2) =

= k (x1 + x2, x1 - x2, x2) =

= k T (x)

Se verifican las dos condiciones de la definición, entonces la transformación es lineal.

PROPIEDADES

Sean y espacios vectoriales sobre (donde representa el cuerpo) se satisface que:

Si es lineal, se define el núcleo (ker) y la imagen (Im) de de la siguiente manera:

Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio

El núcleo de toda transformación lineal es un sub espacio vectorial del dominio:

1. dado que (para probar esto, observar que

).

2 .Dados

3 .Dados

Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo.

La imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.

• La imagen de toda transformación lineal es un sub espacio del codominio.

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