Transformaciones Lineales

5. Transformaciones Lineales

5.1. Introducción a las transformaciones lineales.

El presente capitulo aborda una clase especial de funciones denominadas transformaciones lineales que ocurren con mucha frecuencia en el algebra lineal y otras ramas de las matematicas. Estas tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Antes de definirlas, se estudiaran dos ejemplos sencillos para ver lo que es posible realizar.

Ejemplo 1: reflexión respecto al eje x

En R2 se define una función T mediante la fórmula T(x;y)=(x;-y). Geométricamente, T toma un vector en R2 y lo refleja respecto al eje x. esto se ilustra en la figura. Una vez que se ha dado la definición básica, se verá que T es una transformación lineal de R2 en R2.

Ejemplo 2: transformación de un vector de producción en un vector de materia prima.

Un fabricante elabora cuatro tipos de productos distintos, de los cuales cada uno requiere tres tipos de materiales. Se identifican los cuatro productos como P¬1, P2, P3, y P4 y a los materiales por R1, R2 y R3. La tabla siguiente muestra el número de unidades de cada materia prima que se requieren para fabricar 1 unidad de cada producto.

Ejemplo 2: transformación de un vector de producción en un vector de materia prima.

Un fabricante elabora cuatro tipos de productos distintos, de los cuales cada uno requiere tres tipos de materiales. Se identifican los cuatro productos como P¬1, P2, P3, y P4 y a los materiales por R1, R2 y R3. La tabla siguiente muestra el número de unidades de cada materia prima que se requieren para fabricar 1 unidad de cada producto.

Surge una pregunta natural: si se produce cierto número de los cuatro productos, ¿Cuántas unidades de cada material se necesitan? Sean p1, p2, p3 y p4 el número de artículos fabricados en los cuatro productos y sean r1, r2, y r3 el número de unidades necesarios de los tres materiales. Entonces se define:

Por ejemplo, suponga que P=(10,30,20,50). ¿Cuántas unidades de R1 se necesitan para producir estos números de unidades de los cuatro productos? De la tabla se tiene que

r=p1*2+p2*1+p3*3+p4*4=10*2+30*1+20*3+50*4=310 unidades

de manera similar r2=10*4+30*2+20*2+50*1=190 unidades

y r3=10*3+30*3+20*1+50*2=240 unidades

en general se ve que

o Ap= r.

Esto se puede ver de otra manera. Si a p se le conoce como le vector de producción y a r como el vector de materia prima, se define la función T por = T(p) = Ap. Esto es, T es la función que “transforma” el vector de producción en el vector de materia prima y se hace mediante la multiplicación de matrices ordinaria. Como se verá , esta función es también una transformación lineal.

Antes de definir una transformación lineal, hablaremos un poco sobre las funciones. En la sección 1.7 se escribió

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