Transformaciones Lineales

INTRODUCCION

Para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales emplearemos dos herramientas matemáticas que facilitar los cálculos: las matrices y los determinantes.

Las matrices y los determinantes nos permiten expresar de una manera clara, concisa y elegante la condición de compatibilidad de los sistemas de ecuaciones lineales (s.e.l.) - Teorema de Rouché-Fröbenius -.

Definición de transformación lineal y sus propiedades

Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:

Transformación lineal: Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v ϵ V un vector único Tv ϵ W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar ∝,

i)

,

.

ii)

,

,

.

En otras palabras, una transformación lineal es una función que respeta las operaciones definidas en los espacios vectoriales: “abre sumas y saca escalares”.

Observaciones:

i) Si

es una transformación lineal, entonces

Terminología: las transformaciones lineales con frecuencia se llaman operadores lineales..

En efecto

. Por la ley de la cancelación en W, tenemos que

.

Nótese que en realidad solo se usa la propiedad aditiva (i) de T. Este hecho lo usamos en el siguiente inciso.

ii)

es lineal si y solo si

,

,

.

Si T lineal, entonces

. Inversamente, supongamos que

,

,

. Probemos las dos condiciones para que T sea lineal:

a)

.

b)

Nótese que usamos el hecho de que

, lo cual es consecuencia del comentario hecho al final del inciso (i).

iii)

es lineal si y solo si

,

.

La demostración se hace por inducción sobre n.

a) Si

, entonces

, por la condición (ii) de T.

b) Supongamos válido para n. Probemos para

:

Por la condición (i) de T, tenemos que,

Y por hipótesis de inducción, tenemos que,

Así que podemos concluir que,

Este último inciso se puede abreviar usando la notación sigma como sigue:

Veamos algunos ejemplos de transformaciones lineales, donde haremos uso extenso de la observación (ii) de arriba.

Ejemplo 1.

Sea

tal que

,

. Entonces T es lineal, ya que

, y por otro lado,

. Por lo tanto,

vemos que

.

Esta transformación recibe el nombre de la transformación cero y se denota como

.

Ejemplo 2.

Sea

tal que

,

. Entonces T es lineal, ya que

.

Esta transformación recibe el nombre de la transformación identidad de V en V, y se denota como

.

Ejemplo 3.

Sea

tal que

la traza de A, es decir,

, la suma de los elementos de la diagonal. Entonces T es lineal, ya que

Ejemplo 4.

Sea

tal que

. Entonces T es lineal, ya que

Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:

• T(u+v) = T(u) + T(v)

• T(ku) = kT(u) donde k es un escalar.

TRANSFORMACIONES LINEALES

(REFLEXIÓN, DILATACIÓN, CONTRACCIÓN, ROTACIÓN)

1) ROTACIÓN EN ÁNGULO

)

Sea

un ángulo medido en radianes. Queremos averiguar cual es la transformación T

de

en

que gira cada vector

un ángulo

, para obtener un vector

. En una gráfica, vemos la situación como sigue:

Si usamos las funciones trigonométricas, tenemos que:

Distribuyendo y usando el hecho de que

y tenemos que:

Por lo tanto, ya descubrimos cómo debe estar definida la transformación

tal que

.

Esta transformación se llama la rotación por un ángulo

2) REFLEXIÓN SOBRE EL EJE X

En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T de

en

que cada vector

lo refleja sobre el eje x, para obtener un vector

.

En una gráfica, vemos la situación como sigue:

En este caso, la situación es más sencilla ya que claramente tenemos dos triángulos rectángulos que son congruentes, de donde T queda definida como sigue:

Esta transformación se llama la reflexión sobre el eje x, y es lineal, ya que:

3) . Proyección ortogonal sobre el eje x

En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T de

en

que a cada vector

lo proyecta perpendicularmente sobre el eje x, para obtener un vector

. En una gráfica, vemos la situación como sigue:

También este caso es sencillo, pues es obvio que T queda definida como sigue:

...