Aplicación De Transformación Lineal

Aplicación de transformación lineal

Reflexión

Algunas orientaciones deseables para los objetos tridimensionales no pueden ser obtenidas usando solamente giros. Con la reflexión se consigue un efecto "espejo", de modo que los objetos se ven reflejados en un plano.

Cuando la reflexión se hace sobre uno de los planos ortogonales (x = 0, o y = 0, o bien z = 0) la matriz de transformación es sencilla, pues es similar a la matriz identidad, aunque siendo –1 el elemento que representa a la coordenada que es nula en el plano de reflexión. Así, las matrices de reflexión para los planos XY, XZ e YZ son

Cuando se quiera una reflexión sobre un plano cualquiera, el proceso se complica notablemente. La técnica utilizada es similar a la del giro sobre eje arbitrario. En este caso, inicialmente se requiere definir un punto en el plano, y la normal al plano en ese punto.

El proceso de reflexión se resume en los siguientes puntos:

• Trasladar el punto establecido del plano al origen de coordenadas

• Realizar los giros oportunos para hacer coincidir el vector normal al plano de reflexión con uno de los ejes de coordenadas; así el problema se reduce a una simple reflexión sobre alguno de los planos del sistema de referencia.

Por ejemplo, si el eje escogido es el Z, el plano de reflexión sería el XY.

• Realizar la reflexión sobre el plano seleccionado

• Aplicar las transformaciones inversas para devolver el plano de reflexión a su posición original.

La matriz neta podría ser, por ejemplo, el resultado de la composición de las matrices [M]= [T]⋅ [G ]⋅ [G ]⋅ [R ]⋅ [G ]−1 ⋅ [G ]−1 ⋅[T]−1 x y z y x , si se opta por realizar las transformaciones para alinear el vector normal con el eje Z. En tal caso, la matriz de reflexión a utilizar sería la Rz.

Rotación

Otro tipo común de transformación en el plano es la rotación o giro en torno a cualquier punto en el plano. Nos interesan principalmente las rotaciones en torno al origen. Rotación en el plano: La transformación se define por

y hace girar cada vector, θ rad en sentido contrario al de las manecillas del reloj en torno al origen.

Por ejemplo, calcularemos la imagen de (1,1) para

Proyección

Para proyectar un vector ortogonalmente en una línea que va a través del origen, usamos (ux, uy) como un vector en dirección de la línea. Entonces usamos la matriz de transformación.

Como ocurre con las reflexiones, la proyección ortogonal en una línea que no pasa por el origen necesita una transformación a fin, no una transformación lineal.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA (UNI)

ELABORADO POR:

 OLIVER ALBERTO RUIZ CRUZ

 CARRERA:

INGENIERIA ELECTRONICA

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