Transformaciones Lineales

Transformaciones Lineales

Una transformación lineal es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector. Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:

Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo K, y T una función de V en W. T es una transformación lineal si para cada par de vectores de u y v pertenecientes a V y para cada escalar k perteneciente a K, se satisface que:

1.

2. donde k es un escalar.

Son aplicaciones lineales los operadores usados en la formulación matemática de la mecánica cuántica. Para detalles específicos sobre estos, ver el artículo Operador (mecánica cuántica).

Propiedades de las transformaciones lineales

1.

Transformación Lineal Singular y No Singular

Sean y espacios vectoriales sobre el mismo campo y una transformación lineal de en . Entonces, es no singular si:

X

En caso contrario es singular.

Teorema fundamental de las transformaciones lineales

• Sea B = {v1,v2,v3,...vn} base de V y C = {w1, w2, w3,...wn n} un conjunto de vectores de W no necesariamente distintos, entonces existe una única transformación lineal Para todo

Clasificación de las transformaciones lineales

1. Monomorfismo: Si es inyectiva, o sea si el único elemento del núcleo es el vector nulo.

2. Epimorfismo: Si es sobreyectiva (exhaustiva).

3. Isomorfismo: Si es biyectiva (inyectiva y exhaustiva).

4. Endomorfismo: Si o sea si el dominio es igual al codominio (el espacio vectorial de salida y el de llegada son el mismo).

5. Automorfismo: Si es endomorfismo e isomorfismo a la vez.

Ejemplo 1.

Considere la transformación T que va de a tal que ; ¿ es T una transformación lineal? Verificamos si cumple las propiedades i) y ii).

i)

ii)

Por lo tanto la función T es una transformación lineal.

Para dos vectores particulares y , y la constante a = -5 ilustramos estas propiedades para la transformación dada.

i)

ii)

Ejemplo 2.

Sea la función lineal de , ¿Es f una transformación lineal ?

Verifiquemos si f es transformación lineal:

i)

A pesar de que la función f es lineal, no es una transformación lineal. Sólo las funciones lineales cuyas gráficas son rectas que pasan por el origen son transformaciones lineales.

Ejemplo 3.

Considere la transformación T de en tal que .

Verifiquemos si T es transformación lineal:

i)

ii)

Por lo tanto la función T es transformación lineal. ¿Cuál es el efecto geométrico de aplicarle esta transformación a un vector cualquiera ?

Ejemplo 4.

Sea T la función de a definida por en donde A es una matriz de . ¿ Es T transformación lineal ?

La condición corresponde a la propiedad distributiva de la multiplicación de matrices y la condición es también una propiedad de la multiplicación de matrices . Por lo tanto la función T es una transformación lineal.

Ejemplo 5.

Sea T una rotación de todos los vectores del plano alrededor del origen de coordenadas en un ángulo en dirección opuesta a las manecillas del reloj. T es transformación lineal, porque da igual sumar dos vectores y después rotarlos, que primero rotar los dos vectores y después sumarlos; y da lo mismo multiplicar un vector por un escalar y después rotarlo, que primero rotar el vector y después multiplicarlo por el escalar.

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