Transformaciones Lineales

COMBINACION LINEAL

Definición.- Sean vectores en un espacio vectorial V. Entonces cualquier vector de la forma:

Donde son escalares se llama una combinación lineal de .

EJEMPLOS:

Si .Determine si es combinación lineal de .

Determine si el vector es combinación lineal de .

Por tanto el conjunto es un Sistema inconsistente y no son combinación lineal.

CONJUNTO GENERADOR

Definición.- Se dice que los vectores en un espacio vectorial V generan a V si todo vector en V se puede escribir como una combinación lineal de ellos. Es decir, para todo , existen escalares tales que:

EJEMPLOS:

Determine un conjunto generador para el espacio

Un conjunto generador para ese espacio es

Encuentre un conjunto generador para:

a)

b)

ESPACIO GENERADO

Definición.- Sea vectores en un espacio vectorial V. El espacio generado por es el conjunto de combinaciones lineales de , Es decir,

Donde son escalares arbitrarios.

TEOREMA

Si son vectores no nulos de un espacio vectorial V, entonces

Es un subespacio de V.

DEMOSTRACION

EJEMPLOS:

Determine el espacio generado por los vectores .

Sea . Determine si . Hallar el menor subespacio que generan los vectores dados en .

INDEPENDENCIA LINEAL

Definición.- Sean n vectores en un espacio vectorial V. Entonces se dice que los vectores son linealmente independientes si existen n escalares todos cero tales que:

Si los vectores no son linealmente independiente, se los llama como linealmente dependientes.

• Para que un conjunto sea linealmente independiente su determinante siempre debe ser diferente de cero

TEOREMA

Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si y solo si uno es múltiplo escalar del otro.

DEMOSTRACION

La ecuación uno nos dice que es dependiente de los vectores contrarios de acuerdo a la hipótesis asumida.

EJEMPLOS:

Determine si los conjuntos dados, son linealmente independientes.

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