Transformación Lineal

Transformación lineal

Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.

Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura.

Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.

Propiedades

 Para toda transformación lineal T: V ® W, T (-x) = -T (x)

 Para toda transformación lineal T: V ® W, T (0) = 0 ( El que aparece en la izquierda es el vector nulo de V, mientras que el que aparece en el lado derecho es el vector nulo de W. Se puede escribir también T (0V) = 0W)

 Sea V un espacio vectorial de dimensión finita, W un espacio vectorial, {v1,..., vn} una base de V, y {z1,..., zn} un conjunto cualquiera de vectores de W. Entonces existe una única transformación lineal T: V ® W tal que T (vi) = zi (1 ≤ i ≤ n).

Ejercicio 1. Verifique si la transformación T: R2 ! R3 tal que T(x; y) = (x+y; y; x¡ y), es una transformación lineal.

Solución.

a) Sean v1 = (x; y), v2 = (p; q) 2 R2, entonces

T(v1 + v2) = T(x + p; y + q)

= ((x + p) + (y + q); y + q; (x + p) - (y + q)

= ((x + y) + (p + q); y + q; (x - y) + (p - q))

= (x + y; y; x - y) + (p + q; q; p ¡ q)

= T(x; y) + T(p; q)

= T(v1) + T(v2)

b) Sean v = (x; y) 2 R2, k 2 R, entonces

T(kv) = T(kx; ky)

= (kx + ky; ky; kx - ky)

= k(x + y; y; x - y)

= kT(x; y)

= k(Tv)

Así, T es una transformación lineal.

Núcleo e Imagen de transformación Lineal

Núcleo

Sea f: V W una transformación lineal de un e. v. v, en un e. v. w. El núcleo de F, (NF), es el subconjunto del e. v. v que consta de todos los elementos U de V tales que: F(u) = 0w. Esto quiere decir que las imágenes de los vectores de V es el vector nulo del e. v. W.

En forma matemática el núcleo es igual a: NF = [u ϵ e.v V de salida / F(u) = 0w], donde 0w es el vector nulo de e.v. de llegada W. El núcleo puede tener varios vectores de V, incluido el vector nulo 0v, o solo el vector nulo.

Imagen

Sea F: V W es una T.L de un e. v. v en un e. v. w, entonces el recorrido de F o imagen de V bajo F, denotada por img F, consta de todas aquellos vectores en W (e.v de llegada) que son imágenes bajo F de vectores en V. Es decir v esta en ing F si podemos hallar algún vector u en v tal que F(u)= w.

En forma matemática la img F podemos escribirla de la siguiente manera:

Img F = [w ϵ e.v de llegada / F(u) = w], donde u es elemento del e.v de salida.

La imagen de una T.L puede ser una parte del conjunto de llegada o todo el conjunto de llegada.

Problema 1: Para la transformación lineal T : R3 → R3 definida por:

T (x, y, z) = (3x + y,6x − z,2y + z)

Obtener:

(a) El núcleo de T y su dimensión.

(b) El recorrido de T y su dimensión.

SOLUCIÓN:

(a) • El núcleo está dado por el conjunto ( ) { ( ) 3} R3 T v 0N T = v ∈ = R

• Se propone al vector v = (x, y, z)∈R3 , cuya imagen es:

T (v) = (3x + y,6x − z,2y + z) = 0R3 = (0,0,0)

 Igualando términos :

 Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior, matricialmente:

 Por tanto, el vector propuestos originalmente se transforma en:

 Siendo el núcleo de la transformación T:

N (T ) = {(k,−3k,6k) k ∈R} dimN(T ) = 1

 (b) Para determinar el recorrido de la transformación, se toma en cuenta el dominio:

R3 = {(x, y, z) x, y, z∈R} ; dimR3 = 3

 La base canónica del dominio R3 canonica B deR es {(1,0,0) (0,1,0)(0,0,1 )} . =

 Las imágenes de la base canónica anterior, constituyen al conjunto generador

C.G. del recorrido:

T (1,0,0 )= (3,6,0 )

T (0,1,0 )= (1,0,2 )

T (0,0,1)= (0,-1,1 )

C.G. {(3,6,0 ), (1,0,2 ), (0,-1,1)}

 Determinando el espacio renglón a partir del conjunto generador anterior:

 De la matriz en forma canónica escalonada se obtiene:

( 3 ) {(1,0,2),(0,1, 1)} canonica B deTR = −

 El vector genérico es por tanto:

w = a(1,0,2) + b(0,1,−1) = (a,b,2a − b) = w

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