Transformaciones Lineales

Introducción

en este reporte veremos, sabremos y comprenderemos, respecto a las transformaciones lineales, en cuanto a algunos de sus temas, y sus aplicaciones, en las cuales en cada una por lo menos encontraran un ejercicio con el fin de tener un mayor entendimiento, para así, poder seguir adelante, con los temas que más adelante se nos presentaran, conforme avancemos en la materia, y no esta demás mencionar que este tema con el de espacios vectoriales es una introducción, a la materia de cálculo vectorial, es por eso que se necesita, comprender, al cien por ciento, lo que este tema nos quiere decir.

TRANSFORMACIONES LINEALES.

Los matemáticos describen las transformaciones lineales por un conjunto de reglas y relaciones pero, más simplemente, una transformación lineal representa un tipo de regla de que, cuando se aplica, cambia el tamaño o la dirección de un vector. No está demás mencionar que Las transformaciones lineales constituyen una de las áreas más importantes de estudio en las matemáticas. Tienen usos y aplicaciones importantes en el mundo real y se muestran en diferentes áreas del sector de empleo.

La definición de transformación lineal es la siguiente:

Para entender mejor las notaciones, de toda la lectura les pondré:

Tres notas te notación

Se escribe T: V W para indicar que T toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial real W; esto es, T es una función con V como su dominio y un subconjunto de W como su imagen.

Se escribe indistante Tv y T(V). denotan lo mismo; las dos se leen “T de v”. esto es análogo a la notación funcional f(x), que se lee “f de x”.

Muchas de las definiciones y teoremas en este tema se cumplen también para los espacios vectoriales complejos (espacios vectoriales en donde los escalares son números complejos).

Terminologías lineales. Las transformaciones lineales con frecuencia se llaman operadores.

Para entender mejor lo que son las transformaciones lineales, pasare a explicar un breve ejemplo muy sencillo de este tema, para ver que es lo que sucede.

Ejemplo1 Reflexión respecto al eje x. en R² se define una función T mediante la fórmula T(x¦y)= (x¦(-y)) geométricamente, T toma un vector en R² y lo refleja respecto al eje x. una vez teniendo la definición básica, se verá que T es una transformación lineal de R² en R². Para comprobarlo veamos como quedo la grafica:

Como podemos observar en la figura el vector (x,-y) es la reflexión respecto al eje x del vector (x,y).

Para un mayor entendimiento mostrare un segundo ejemplo pero con diferente nombre y procedimiento, esto se debe a que es una aplicación, mas de las transformaciones lineales diferente a la primera.

Ejemplo 2 transformaciones de un vector de producción en un vector de materia prima. Un fabricante hace cuatro tipos diferentes de productos, cada uno requiere tres tipos de materiales. Se denota a los cuatro productos por p₁p₂,p₃,p₄ y a los materiales por R₁,R₂ y R₃. en la siguiente tabla mostrare el numero e unidades de cada materia prima que se requieren para fabricar 1 unidad de cada producto.

Necesarios para producir 1 unidad de

P₁ P₂ P₃ P₄

R₁ 2 1 3 4

R₂ 4 2 2 1

R₃ 3 3 1 2

Si se produce cierto número de los cuatro productos, nosotros debemos saber cuántas unidades de cada material de necesitan, es por eso que sean p₁p₂,p₃,y

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