Transformaciones Lineales.

INTRODUCCIÓN.

En este ensayo se aborda una clase especial de funciones denominadas transformaciones lineales que ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y otras ramas de las matemáticas. Estas tienen una gran variedad de aplicaciones importantes.

Definición de transformación lineal.

Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una

funcion que asigna a cada vector v ∈V un vector unico Tv ∈W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar a,

T(u 1 v) 5 Tu 1 Tv (1)

y

T(av) 5 aTv (2)

Tres observaciones sobre notación.

1. Se escribe T: V S W para indicar que T toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial real W; esto es, T es una función con V como su dominio y un subconjunto de W como su imagen.

2. Se escriben indistintamente Tv y T(v). Denotan lo mismo; las dos se leen “T de v”. Esto es análogo a la notación funcional f (x), que se lee “f de x”.

3. Gran parte de las definiciones y teoremas en este capítulo también se cumplen para los espacios vectoriales complejos (espacios vectoriales en donde los escalares son números complejos). Sin embargo, a excepción de la breve intervención de la sección 5.5, solo se manejaran espacios vectoriales reales y, por lo tanto, se eliminara la palabra “real” en el análisis de los espacios vectoriales y las transformaciones lineales.

Las transformaciones lineales con frecuencia se denominan operadores lineales.

DESARROLLO.

Una transformación lineal de R2 en R3:

Asi, T es una transformacion lineal.

La transformación cero

Sean V y W espacios vectoriales y defina T: V S W por Tv 5 0 para todo v en V. Entonces

T(v1 1 v2) 5 0 5 0 1 0 5 Tv1 1 Tv2 y T(av) 5 0 5 a0 5 aTv. En este caso, T se denomina la

transformación cero.

La transformación identidad

Sea V un espacio vectorial y defina I: V S V por Iv 5 v para todo v en V. Aqui es obvio que I es una transformación lineal, la cual se denomina transformación identidad u operador identidad.

Transformación de reflexión

Transformación de Rn - Rm dada por la multiplicación por una matriz de m x n

Transformación de rotación

Transformación de proyección ortogonal

Dos operadores de proyección

Operador de transposición

Defina T: Mmn S Mnm por T(A) 5 At. Como (A 1 B)t 5 At 1 Bt y (aA)t 5 aAt, se ve que T,

denominado operador

...