Transformaciones lineales

Transformaciones lineales

Definición

Si T: V W es una función de un espacio vectorial V a un espacio vectorial W, entonces T se llama transformación lineal de V a W si para todos los vectores u y v de V y todos los escalares c se cumple que

T(u+v) = T (u) + T(v)

T(cu) = cT(u)

En el caso especial donde V=W, la transformación lineal T: V V se denomina operador lineal sobre V.

Teoremas

Si T: V es una transformación lineal, entonces

T(0)=0

T(-v) = -T(v) para todo v en V

T(v-w)= T(v) – T(w) para todo v y w en V

Ejemplo

T (X, Y, Z)= (3x+4y, 2y+5z, -8x + 6y)

A (2, -1, 3) (4, -2, 6) (-6, 3, -9)

B (1, 0, 0) (0, 1 ,0) (0, 0, 1)

T=(2, -1, 3) (3.(2) + 4.(-1) , 2.(-1) + 5.(3) , -8.(2) + 6.(-1)) =(2, 13, -22)

T=(4, -2, 6) (3.(4) + 4.(-2) , 2.(-2) + 5.(6) , -8.(4) + 6.(-2)) = (4, 26 , -44)

T= (-6, 3, -9) (3.(-6) + 4.(3) , 2.(3) + 5.(-9) , -8.(-6) + 6.(3)) = (-6, -39,66)

(2, 13, -22)= 2(1,0,0) , 13(0,1,0), -22(0,0,1)= (2, 13, -22)

(4, 26 , -44)= 4(1,0,0) , 26(0,1,0) , -44(0,0,1)= (4,26,-44)

(-6, -39,66)= 6(1,0,0), -39(0,1,0) , 66(0,0,1)= (-6, -39,66)

Núcleo e imagen de una transformación lineal

Definición

Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T:V W una transformación lineal . Entonces

El núcleo de T , denotado por nu T , está dado por

nu T = v∈ V:Tv=0

La imagen de T, denotado por imagen de T , está dado por

Imagen T = w ∈ W: w = Tv para alguna v ∈ V

Teorema

Si T: V W es una transformación lineal, entonces

nu T es un subespacio de V.

imagen T es un subespacio de W

Rango de una transformación lineal

Definición

Si T es una transformación línea de V y W, entonces se define

Rango de T = ρ(T)= dim imagen de T

Teorema

Si A es una matriz m x n y T_A:R^n R^m es la multiplicacion por A , entonces :

Rango (T_A)= rango (A)

Valores y vectores propios

Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores que, o no se ven afectados por la transformación o se ven multiplicados por un escalar, y por tanto no varían su dirección.

El valor propio de un vector propio es el factor de escala por el que ha sido multiplicado.

Teorema

Sea A una matriz cuadrada. Entonces

Un escalar λ es valor propio de A, si y solo si, det(A−λI) = 0 y λ ∈ R. Un vector v es un vector propio de A asociado al valor propio λ, si y solo si, v es una solución no trivial de (A−λI)x = 0.

K 1 0

1

A = 5 8 K 1 0 5 8 = K-5 0

3 6 0 1 3 6 0 K-6

(k-5) (k-6) =o

K=5

K=6

Matriz simétrica y ortogonal

Matriz simétrica

Una matriz simétrica real tiene varias propiedades importantes. Si se demuestra que cualquier matriz simétrica real tiene n

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