Transformaciones Lineales

5.1 Introduccion a las transformaciones lineales.

Definici ́on 3.1 Sean (V, +V , ·V ) y (W, +W , ·W ) dos K-espacios vectoriales. Una funci ́on f : V → W se llama una transformaci ́on lineal (u homomorfismo, o simplemente morfismo) de V en W si cumple:

i) f(v+V v′)=f(v)+W f(v′) ∀v,v′ ∈V. ii)

ii) f(λ·V v)=λ·W f(v) ∀λ∈K,∀v∈V.

Comenzamos definiendo una tranformación lineal. Ejemplos típicos son la derivada y la integral, al igual que las proyecciones. Definimos el kernel y rango de una transformación lineal T : V  W y los denotamos por N(T) y R(T) respectivamente. Es un ejercicio verificar que N(T)  V y R(T)  W. Definimos nulidad(T) = dim(N(T)) y rango(T) = dim(R(T)).

TEOREMA 2.1 Si T : V  W es una transformación lineal, entonces V es dimensionalmente finito si y sólo si N(T) y R(T) son dimensionalmente finitos, y en este caso,

dim(V) = nulidad(T) + rango(T).

Demostración

Dados dos espacios vectoriales V y W sobre un campo F, definimos

L(V, W) = {T : V  W | T es una transformación lineal}.

Si T, U  L(V, W) y a  F, definimos aT + U : V  W como (aT + U)(x) = aT(x) + U(x) para toda x  F. Es un ejercicio verificar que aT + U es una transformación lineal y que L(V, W), junto con estas operaciones de suma y de multiplicación por escalares, es un espacio vectorial sobre F.

Definimos el que una función fuera inyectiva, sobre y biyectiva. Es un ejercicio demostrar que para una transformación lineal T : V  W, las siguientes condiciones son equivalentes:

• T es inyectiva

• N(T) = {0} (es decir, nulidad(T) = 0)

• Para todo S  V, S es linealmente independiente si y sólo si T(S)  W es linealmente independiente

También se deja como ejercicio el verificar que si V y W son dos espacios vectoriales con la misma dimensión (finita) y T : V  W es una transformación lineal, entonces T es inyectiva o sobre si y sólo si es biyectiva.

Una transformación lineal es una función que preserva la estructura algebraica de espacio vectorial, por lo que no toda función entre espacios vectoriales es una transformación lineal. De hecho, es sencillo encontrar funciones inyectivas, sobre, y biyectivas que no son transformaciones lineales. Esto motiva las definiciones de monomorfismo, epimorfismo e isomorfismo.

5.2 Nucleo e imagen de una Transformacion lineal

Definición 1 Núcleo e imagen de una transformación lineal

Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T:V W una transformación lineal. Entonces

i . El núcleo de T, denotado por un, está dado por

ii. La imagen de T, denotado por Im T, esta dado por

Observacion 1. Observe que un T es no vacio porque, de acuerdo al teorema 1, T(0) = 0 de manera que 0 ϵ un T para cualquier transformación lineal T. Se tiene interés en encontrar otros vectores en V que “se transformen en 0”. De nuevo, observe que cuando escribimos T(0) = 0, el 0 de la izquierda está en V y el de la derecha en W.

Observación 2. La imagen de T es simplemente el conjunto de “imajenes” de los vectores en V bajo la transformación T. De hecho, si w = Tv, se dice que w es la imagen de v bajo T.

Antes de dar ejemplos de núcleos e imágenes , se demostrará un teorema de gran utilidad.

Teorema 4 Si T:V W es una transformación lineal, entonces

i.Un T es un subespacio de V.

ii.Im T es un subespacio de W.

Demostracion

i.Sean u y v en un T; Entonces T(u + v) = Tu + Tv =0 + 0 =0 y T( ) = = 0 = 0 de forma que u + v y ∝u están en un T.

ii. Sean w y x en Im T. Entonces w = Tu y x = Tv para dos vestores u y v en V. Esto significa que T(u + v)= Tu + Tv = w + x y T(∝u) = ∝Tu =∝w. Por lo tanto, w + x y ∝w están en Im T.

Ejemplo 3. Núcleo e imagen de la transformación cero

Sea Tv = 0 para todo vϵ V(T es la transformación

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