La transformación lineal

TRANSFORMACION LINEAL

La transformación lineal es una función utilizada para la asignación de un espacio vectorial a otro espacio vectorial con la ayuda de los escalares, la cual satisface la expresión f(a*x+b*y) =a*f(x)+b*f (y).

En otras palabras, se consideran 2 espacios vectoriales, V y W. Una transformación lineal es una gráfica T: V→ W que satisface dos condiciones:

1). T (v1 + v2) = T (v1) + T (v2) donde v1 y v2 son vectores en V. 2). T (xV) = x T (v) donde x es una escala

Una transformación lineal puede ser sobreyectiva o inyectiva. En el caso que, W y V tengan dimensiones idénticas, entonces T puede llegar a ser invertible, esto es, se encuentra T-1 el cual satisface la condición TT-1 = I. Asimismo, T (0) será siempre 0.

EJEMPLO

Núcleo de una transformación lineal

Sea T: V → W una transformación lineal. El núcleo T es el subconjunto formado por todos los vectores en V que se mapean a cero en W.

Ker (T) = {v ∈ V | T (v) = 0 ∈ W}

EJEMPLO

Solución

Antes de pasar a la velicación, es conveniente observar que es posible encontrar una matriz A tal que T(x) = A•x. Es decir, aplicar T a un vector x es equivalente a multiplicar por una cierta matriz A al vector x. Empecemos con la dimensión de A: como A se multiplica por la izquierda de x y x ∈ R3 entonces el número de columnas de A es 3. Por otro lado, como el resultado A • x es un vector de R3, entonces el número de Renglones de A es 3. Si requerimos que

Núcleo e Imagen son subespacios

La propiedad fundamental del núcleo y del contra dominio es que ambos son espacios vectoriales:

Teorema

Sea T: V → W una transformación lineal. Entonces

Ker (T) es un subespacio de V.

R (T) es un subespacio de W.

Demostración

El núcleo de T es subespacio

Sean v1 y v2 elementos del núcleo de T y c un escalar cualquiera. Así T(v1) = 0 = T(v2), y por tanto:

T (c1 v1 + c2 v2) = c1 T(v1) + c2 T(v2) = c1 0 + c2 0 = 0

Probando que c1 v1 + c2 v2 está también en el núcleo de T. Lo cual a su vez prueba que el núcleo de T es un subespacio de V.

La imagen de T es subespacio

Sean w1 y w2 elementos de la imagen de T y c un escalar cualquiera. Así T(v1) = w1 y T(v2) = w2 para algunos v1 y v2 en V , y por tanto:

T (c1 v1 + c2 v2) = c1 T(v1) + c2 T(v2) = c1 w1 + c2 w2

Probando que c1 w1 + c2 w2 es imagen de c1 v1 + c2 v2 y por consiguiente c1 w1 + c2 w2 esta también en la imagen de T. Lo cual a su vez prueba que la imagen de T es un subespacio de W

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