TRANSFORMACIONES LINEALES

TRANSFORMACIONES LINEALES

Introducción

Recordemos que una función T : A → B es una “regla de asociación” entre los elementos de A y los elementos de B, tal que a cada elemento a de A se le asocia un único elemento b de B al que le llamamos imagen de a por medio de T y denotamos b = T(a). A los conjuntos A y B les llamamos dominio y codominio de T, respectivamente, y al subconjunto de B formado por todas las imágenes de los elementos de A lo llamamos conjunto imagen de T y lo denotamos Im(T).

En este capítulo, estamos interesados en el estudio de las funciones entre espacios vectoriales que sean “compatibles” con las operaciones de suma y producto por escalar definidas en cada uno de ellos; es decir, que la imagen de una suma de vectores sea la suma de las imágenes y que la imagen de un producto por escalar de un vector sea también un producto por escalar de la imagen del vector.

Definición y Propiedades Básicas

Precisemos la idea planteada en la introducción con la siguiente definición. Definición 1 [Transformación lineal]. Dados dos espacios vectoriales V y W, diremos que la función:

T : V → W es una transformación lineal de V en W, si y solo si,

1. T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) para todo v1, v2 ∈ V . (Propiedad aditiva)

2. T(λv1) = λT(v1) para todo v1 ∈ V y todo λ ∈ R. (Propiedad homogénea)

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