Transformaciones Lineales

Transformaciones Lineales

Desde el punto de vista de la algebra lineal, las transformaciones más importantes son aquellas que conservan las combinaciones lineales. Estas también son llamadas como transformaciones lineales o mapeos lineales. Transformación lineal es una parte esencial en la álgebra lineal. Transformaciones lineales entre dos espacios vectoriales U y V relaciona el mapeo T: U → V que satisface estas condiciones:

1). T (U1 + U2) = T (U1) + T (U2), donde U1 y U2 son vectores en U 2). T (Au) = A T (u), donde A es cualquier cifra escalar

La primera condición se conoce como la aditividad mientras que la segunda se conoce como homogeneidad. Puede ser definido como una función entre dos espacios vectoriales, la cual conserva operaciones de multiplicación escalar y suma. De acuerdo con la álgebra abstracta, son homomorfismo de espacios vectoriales .

Toda transformación que conserva combinaciones lineales es una transformación lineal. Otra propiedad evidente es que cualquier transformación lineal mapas 0 a 0: T (0) = 0. . Este sigue, por ejemplo, el hecho de que

T (x) = T (x + 0) = T (x) + T (0) Para alguna x 2 V, la cual sólo puede ocurrir si T (0) = 0.

Representar una transformación lineal en términos de una matriz es una manera ingeniosa, ya que permitirá cálculos concretos en naturaleza. En otras palabras, se puede decir que una matriz puede dar el modelo básico de estas transformaciones. Por ejemplo, si Q es una matriz de m-by-n, en ese caso, la reglaT (Au) = A T (u) representa la transformación Rn → Rm.

La transformación Id: V → V definida por Id(x) = x se llama transformación de la identidad. Esta transformación es claramente lineal.

Propiedades generales de transformaciones lineales

Suponga que V es un espacio vectorial dimensional finito sobre F, y W es otro espacio vectorial (no necesariamente de dimensión finita) sobre F. Dado una base de V, existe una transformación lineal única T: V → W tomando cualquier valor que deseamos en la base dada de V, y, además, sus valores sobre la base de V determinan unicamente la transformación lineal.

Además, sea V y W espacios vectoriales sobre F. Entonces, cada transformación lineal T: V → W es determinado únicamente por sus valores sobre una base de V. Por otra parte, si v1. . . vn es una base de V y w1, . . . ,wn sonvectores arbitrarios en W, entonces existe una transformación lineal única T: V → W tal que T (vi) = wi para cada i. En otras palabras, hay una transformación lineal única con los valores dados en una base.

Otra propiedad de transformación lineal establece que si V y W son espacios vectoriales sobre F, entonces cualquier combinación lineal de transformaciones lineales con dominio V y objetivo W también es lineal. Así, el conjunto L (V, W)

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