Transformaciones Lineales

INTRODUCCIÓN

Las transformaciones lineales son las funciones con las que se trabaja en álgebra lineal. Se trata de las funciones entre “K”-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es decir, con la operación y la acción) de estos espacios.

En esta lectura se presentan las funciones entre espacios vectoriales que preservan las cualidades de los

Espacios vectoriales. Es decir, de funciones que preservan la suma y la multiplicación por escalares.

TRANSFORMACIÓN LINEAL

En esta sección introduciremos la noción de transformación lineal, así como también ciertas nociones básicas asociadas a estas funciones.

Una transformación lineal es una función entre espacios vectoriales, es decir el objetivo es transformar un espacio vectorial a otro.

Para señalar una transformación lineal usaremos f(v)=W, donde V y W son espacios vectoriales que actúan en un mismo campo

Definición.- Sean V, W dos espacios vectoriales posiblemente iguales. Una transformación lineal o T: U → V una función. Diremos que T es una transformación lineal así satisface las siguientes condiciones:

1. T(v+w) = T(v) + T(w)

2. T(cv) = cT(v)

La primera condición dice que la función “T” transforma la suma de dos vectores. Del mismo modo la segunda condición indica que T transforma el producto por escalar de un vector en U.

De la definición se deduce inmediatamente que una transformación lineal preserva combinaciones lineales. Veremos que, debido a esto, una transformación lineal queda unívocamente determinada por los valores que toma en los elementos de una base cualquiera de su dominio.

Ejemplo 1: reflexión respecto al eje x

En R2 se define una función T mediante la formula T(x;y)=(x;-y). Geométricamente, T toma un vector en R2 y lo refleja respecto al eje x. esto se ilustra en la figura. Una vez que se ha dado la definición básica, se vera que T es una transformación lineal de R2 en R2.

Ejemplo 2: transformación de un vector de producción en un vector de materia prima.

Un fabricante elabora cuatro tipos de productos distintos, de los cuales cada uno requiere tres tipos de materiales. Se identifican los cuatro productos como P¬1, P2, P3, y P4 y a los materiales por R1, R2 y R3. La tabla siguiente muestra el numero de unidades de cada materia prima que se requieren para fabricar 1 unidad de cada producto.

Ejemplo 2: transformación de un vector de producción en un vector de materia prima.

Un fabricante elabora cuatro tipos de productos distintos, de los cuales cada uno requiere tres tipos de materiales. Se identifican los cuatro productos como P¬1, P2, P3, y P4 y a los materiales por R1, R2 y R3. La tabla siguiente muestra el numero de unidades de cada materia prima que se requieren para fabricar 1 unidad de cada producto.

Surge una pregunta natural: si se produce cierto número de los cuatro productos, ¿Cuántas unidades de cada material se necesitan? Sean p1, p2, p3 y p4 el número de artículos fabricados en los cuatro productos y sean r1, r2, y r3 el número de unidades necesarios de los tres materiales. Entonces se define

Por ejemplo, suponga que P=(10,30,20,50). ¿Cuántas unidades de R1 se necesitan para producir estos números de unidades de los cuatro productos? De la tabla se tiene que

r=p1*2+p2*1+p3*3+p4*4=10*2+30*1+20*3+50*4=310 unidades

de manera similar r2=10*4+30*2+20*2+50*1=190 unidades

y r3=10*3+30*3+20*1+50*2=240 unidades

en general se ve que

o Ap= r.

Esto se puede ver de otra manera. Si a p se le conoce como le vector de producción y a r como el vector de materia prima, se define la función T por = T(p) = Ap. Esto es, T es la función que “transforma” el vector de producción en el vector de materia prima y se hace mediante la multiplicación de matrices ordinaria. Como se verá , esta función es también una transformación lineal.

Antes de definir una transformación lineal, hablaremos un poco sobre las funciones. En la sección

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