Transformaciones lineales.

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Transformaciones lineales

Las transformaciones lineales son las funciones con las que trabajaremos en Algebra Lineal. Se trata de funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es decir, con la operación y la acción) de estos espacios.

Sean (V;+V ; ¢V ) y (W;+W ; ¢W ) dos K-espacios vectoriales. Una función

f : V ! W se llama una transformación lineal (u homomor¯smo, o simplemente mor¯smo)

de V en W si cumple:

i) f(v +V v0) = f(v) +W f(v0) 8 v; v0 2 V:

ii) f(¸ ¢V v) = ¸ ¢W f(v) 8 ¸ 2 K; 8 v 2 V:

Si f : V ! W es una transformación lineal, entonces f(0V ) = 0W.

En efecto, puesto que f(0V ) = f(0V + 0V ) = f(0V ) + f(0V ), entonces.

0W = f(0V ) + (¡f(0V )) = f(0V ) + f(0V )  + (¡f(0V )) =

= f(0V ) + f(0V ) + (¡f(0V )) = f(0V ) + 0W = f(0V ):

EJEMPLOS:

1. Sean V y W dos K-espacios vectoriales. Entonces 0 : V ! W, definida  por 0(x) = 0W

ʉ x € V , es una transformación lineal.

2. Si V es un K-espacio vectorial, id : V ! V definida por id(x) = x es una transformación

Lineal.

3. Sea A 2 Km£n. Entonces fA : Kn ! Km definida por fA(x) = (A:xt)t es una

Transformación lineal.

4. f : K[X] ! K[X], f(P) = P0 es una transformación lineal.

5. F : C(R) ! R, donde C(R) = ff : R ! R j f es continua g, F(g) =

R1 g(x) dx es una transformación lineal.

Como hemos mencionado al comienzo, las transformaciones lineales respetan la estructura de K-espacio vectorial. Esto hace que en algunos casos se respete la estructura de subespacio, por ejemplo en las imágenes y pre-imágenes de subespacios por transformaciones lineales:

Sea f : V ! W una transformación lineal. Entonces:

1. Si S es un subespacio de V , entonces f(S) es un subespacio de W.

2. Si T es un subespacio de W, entonces f¡1(W) es un subespacio de V .

Demostración.

1. Sea S µ V un subespacio y consideremos f(S) = fw 2 W = 9 s 2 S; f(s) = wg.

(a) 0W 2 f(S), puesto que f(0V ) = 0W y 0V 2 S.

(b) Sean w;w0 2 f(S). Entonces existen s; s0 2 S tales que w = f(s) y w0 = f(s0).

Luego w + w0 = f(s) + f(s0) = f(s + s0) 2 f(S), puesto que s + s0 2 S.

(c) Sean ¸ 2 K y w 2 f(S). Existe s 2 S tal que w = f(s). Entonces ¸¢w = ¸¢f(s) =

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