Matriz De Una Transformación Lineal

Matriz de una Transformación Lineal

Sea T : V → W una transformación lineal entre dos espacios vectoriales V y W de dimensiones finitas. Sea B = {v1, . . . , vn} una base de V y B0= {v10, . . . , vn0} una base de W.

La matriz A m × n cuyas columnas son: [T(v1)]B0 , . . . , [T(vn)]B0n es la ´única matriz que satisface [T(~v)]B0 = A[~v]B para todo ~v ∈ V .

Definición 28.1

La matriz A de la afirmación anterior se llama matriz de T con respecto a B y a B0. Si

V = W y B =B0,

A se llama matriz de T con respecto a B.

Ejemplo 28.1

Suponga que

TODA TRANSFORMACIÓN LINEAL ES MATRICIAL

A pesar de que las transformaciones matriciales son las transformaciones lineales más sencillas, en Rn son las únicas. Esto lo afirma el siguiente resultado.

Teorema

Toda transformación lineal T : Rn → Rm es una transformación matricial.

OPERATIVA DEL TRABAJO CON TRANSFORMACIONES

Lo que afirma el siguiente resultado es que para trabajar con una transformación lineal (Núcleo, subsepacios, o imagen) es equivalente a trabajar con la matriz de la transformación.

Teorema

Sea T : V →W una transformación lineal entre dos espacios vectoriales de dimensiones finitas, V y W. Sea A la matriz de T con respecto a las bases B = {v1, ...vn} ⊆ V y B0= {v10, ..., vm0} ⊆ W.

Entonces,

• ~v esta en el núcleo de T si y solo si [v]B esta en el espacio nulo de A. Es decir, A[v]B = 0.

• ~w esta en el contradomio de T si y solo si [w]B0 se encuentra en el espacio de columnas de A. Es decir, Ax = [w]B0 es consistente.

• T es biunívoca si y solo si la reducida de A tiene n pivotes.

• T es sobre si y solo si la reducida de A tiene m pivotes.

• T es un isomorfismo si y s´olo si A es invertible

Ejemplo 28.6

Suponga que

T : P1 → P1

Se define como

T(p) = (1 + 6 x) p0 − 6 p

Determine la matriz [T]B0B para las bases

B = {5 + 5 x, −4 + 2 x}

y

B0 = {5 − x, −4 − 4 x}

Utilice lo anterior para calcular un polinomio en el núcleo de la transformación T.

Solución

Si p = a + b x representa cualquier porlinomio de P1, entonces

T(a + b x) = (1 + 6 x) (b) − 6 (a + b x) = b − 6 a = (b − 6 a) + 0 x

Así, T puede pensarse como:

Por tanto, cualquier polinomio de la forma C (1/17 + 6/17 x) está en el núcleo de T El siguiente resultado relaciona la matriz de cambio de base con la matriz asociada a una transformación lineal.

Teorema

Sea T : V →V una transformación lineal de un espacio vectorial V de dimensión finita en si mismo.

Sean B y B0 dos bases de V , y sea P la matriz de transición de B0 a B. Si A es la matriz de T con respecto

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